Faça o que se pede em cada item:
(i) Mostre que 1, cos (2 x) in[sen^2 x, cos ^2 x].

Passo 1

O enunciado está trabalhando no espaço vetorial das funções reais de x, e pede para mostrar que as funções
1 e cos(2x)
pertencem ao subespaço gerado por
sin^2 x e cos^2 x,
isto é, que elas são combinações lineares de sin^2 x e cos^2 x. Para isso vamos usar identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Usamos a identidade clássica
sin^2 x + cos^2 x = 1
Isto mostra imediatamente que
1 = 1cdotsin^2 x + 1cdotcos^2 x,
ou seja, 1 é combinação linear de sin^2 x e cos^2 x. Logo
1 in [,sin^2 x,;cos^2 x,]

Passo 3

Usamos outra identidade trigonométrica:
cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x
Reescrevendo,
cos(2x) = (-1)cdotsin^2 x + 1cdotcos^2 x,
mostrando que cos(2x) também é combinação linear de sin^2 x e cos^2 x. Portanto
cos(2x) in [,sin^2 x,;cos^2 x,]

Resposta

1 = sin^2 x + cos^2 x, cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x,
logo 1 e cos(2x) pertencem ao subespaço gerado por sin^2 x e cos^2 x.

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