Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 times 2 sobre R. Determine se as matrizes A, B, C in V são LD, sabendo que A=[ll1 & 1 1 & 1], B=[ll1 & 0 0 & 1] e C=[ll1 & 1 0 & 0].

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço vetorial V=M2(R) e pede para verificar se as matrizes
A=1 & 11 & 1, B=1 & 00 & 1, C=1 & 10 & 0
são linearmente dependentes. Para isso, vamos usar a definição: A,B,C são LD se existem escalares alpha,beta,gamma, não todos zero, tais que
alpha A + beta B + gamma C = 0

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando à matriz zero, temos
alpha1 & 11 & 1 +beta1 & 00 & 1 +gamma1 & 10 & 0 = 0 & 00 & 0
Isto gera o sistema de equações em alpha,beta,gamma a partir de cada entrada:
alpha + beta + gamma = 0, alpha + gamma = 0, alpha = 0, alpha + beta = 0

Passo 3

Do terceiro item vem alpha=0. Substituindo em alpha+gamma=0 obtém-se gamma=0. Finalmente, de alpha+beta=0 segue beta=0.

Passo 4

Como a única solução é alpha=beta=gamma=0, não existe combinação não trivial que anule as três matrizes. Portanto A,B,C são linearmente independentes.

Resposta

As matrizes A,B,C não são linearmente dependentes; elas são linearmente independentes.

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