Seja V o espaço de funções de R em R. Mostre que f, g, h in V são LI, sabendo que
f(t)=sen t, g(t)=cos t, e h(t)=t

Passo 1

O enunciado define as funções
f(t)=sin t, g(t)=cos t, h(t)=t
e pede para mostrar que são linearmente independentes em V. Isto significa provar que, se existem escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha f(t)+beta g(t)+gamma h(t)=0forall,tinR,
então alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Suponha
alphasin t+betacos t+gamma t=0
para todo t. Diferenciando duas vezes em relação a t, obtemos
-alphasin t-betacos t=0
para todo t.

Passo 3

Da segunda derivada vem
alphasin t+betacos t=0
para todo t. Substituindo na combinação original, resta
gamma,t=0forall,t,
o que implica gamma=0.

Passo 4

Com gamma=0, a equação reduz-se a
alphasin t+betacos t=0forall,t
Avalie em t=0:
alphacdot0+betacdot1=0impliesbeta=0
Derive essa mesma equação, obtenha alphacos t-betasin t=0 e avalie em t=0:
alphacdot1-0=0impliesalpha=0

Resposta

As únicas soluções são alpha=beta=gamma=0, logo f, g e h são linearmente independentes.

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