Seja
o espaço de funções de
em
. Mostre que
são LI, sabendo que
Passo 1
O enunciado define as funções
e pede para mostrar que são linearmente independentes em
. Isto significa provar que, se existem escalares
tais que
então
.
Passo 2
Suponha
para todo
. Diferenciando duas vezes em relação a
, obtemos
para todo
.
Passo 3
Da segunda derivada vem
para todo
. Substituindo na combinação original, resta
o que implica
.
Passo 4
Com
, a equação reduz-se a
Avalie em
:
Derive essa mesma equação, obtenha
e avalie em
:
Resposta
As únicas soluções são
, logo
,
e
são linearmente independentes.