Para cada um dos itens a seguir, determine se os polinômios dados são linearmente independentes ou linearmente dependentes.
p1=1, p2=x, p3=x^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os polinômios
p1(x)=1, p2(x)=x, p3(x)=x^2
são linearmente dependentes ou independentes no espaço de polinômios de grau <=2. Vamos usar a definição de independência linear: eles são independentes se a única combinação linear que gera o polinômio nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes zero).

Passo 2

Considere uma combinação linear arbitrária desses polinômios igual ao polinômio nulo:
c1,p1(x) + c2,p2(x) + c3,p3(x) = 0
ou seja
c1 + c2,x + c3,x^2 = 0
para todo x.

Passo 3

Como essa é uma identidade polinomial, os coeficientes de cada potência de x devem ser zero:
c3 = 0, c2 = 0, c1 = 0
Não há outra possibilidade.

Passo 4

Concluímos que a única forma de obter o polinômio nulo é com c1=c2=c3=0. Pelo critério de independência linear, isso significa que p1,p2,p3 são linearmente independentes.

Resposta

Os polinômios p1=1, p2=x e p3=x^2 são linearmente independentes.

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