Para cada um dos itens a seguir, determine se os polinômios dados são linearmente independentes ou linearmente dependentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os polinômios
são linearmente dependentes ou independentes no espaço de polinômios de grau . Vamos usar a definição de independência linear: eles são independentes se a única combinação linear que gera o polinômio nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes zero).
Passo 2
Considere uma combinação linear arbitrária desses polinômios igual ao polinômio nulo:
ou seja
para todo .
Passo 3
Como essa é uma identidade polinomial, os coeficientes de cada potência de devem ser zero:
Não há outra possibilidade.
Passo 4
Concluímos que a única forma de obter o polinômio nulo é com c1=c2=c3=0. Pelo critério de independência linear, isso significa que p1,p2,p3 são linearmente independentes.
Resposta
Os polinômios p1=1, p2=x e p3=x^2 são linearmente independentes.