Em cada item a seguir, determine se os vetores dados são LI ou LD, justificando sua resposta.
u=1-3 t+2 t^2-3 t^3 e v=-3+9 t-6 t^2+9 t^3

Passo 1

O enunciado dá dois polinômios em P3:
u(t)=1-3t+2t^2-3t^3
v(t)=-3+9t-6t^2+9t^3
e pede para decidirmos se eles são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Vamos usar a definição de dependência linear em que dois vetores são LD se um é múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Escrevendo os coeficientes de cada termo, temos
constante: coeficiente de u é 1, de v é -3
termo em t: coeficiente de u é -3, de v é 9
termo em t^2: coeficiente de u é 2, de v é -6
termo em t^3: coeficiente de u é -3, de v é 9

Passo 3

Se existir lambdainR tal que v(t)=lambda,u(t), então u e v são LD. Basta comparar as razões entre coeficientes correspondentes:
-31=9-3=-62=9-3=-3

Passo 4

Como todas as razões dão -3, concluímos que
v(t)=-3,u(t)
Isso é uma combinação não trivial (com lambda=-3neq0) que anula a diferença, mostrando dependência linear.

Resposta

u e v são LD (linearmente dependentes).

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