Provar que
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, para todo inteiro
, vale
O que vamos usar:
- definição de quadrado: para qualquer
, ; - existência de inverso aditivo:
é tal que , e podemos escrever ; - associatividade e comutatividade da multiplicação em
; - unicidade do inverso aditivo, o que nos permitirá provar que
.
Passo 2
Começamos aplicando a definição de quadrado e escrevendo
em função de
:
Como
, segue que
Pela associatividade e comutatividade da multiplicação,
Passo 3
Agora mostramos que
. Observe:
Isso significa que
é o inverso aditivo de
. Como o inverso aditivo de
é unicamente
, temos
Passo 4
Substituindo
na expressão do Passo 2, concluímos: