Provar que forall a in Z, a^2=(-a)^2

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, para todo inteiro a, vale
a^2 = (-a)^2
O que vamos usar:
  • definição de quadrado: para qualquer x, x^2 = xcdot x;
  • existência de inverso aditivo: -a é tal que a+(-a)=0, e podemos escrever -a = (-1)cdot a;
  • associatividade e comutatividade da multiplicação em Z;
  • unicidade do inverso aditivo, o que nos permitirá provar que (-1)^2=1.

Passo 2

Começamos aplicando a definição de quadrado e escrevendo -a em função de -1:
(-a)^2 = (-a)cdot(-a)
Como -a = (-1)cdot a, segue que
(-a)^2 = l((-1)cdot ar)l((-1)cdot ar)
Pela associatividade e comutatividade da multiplicação,
(-a)^2 = l((-1)cdot(-1)r)cdot(acdot a) = (-1)^2,a^2

Passo 3

Agora mostramos que (-1)^2 = 1. Observe:
(-1)^2 + (-1) = (-1)cdot(-1) + (-1) = (-1)l((-1)+1r) = (-1)cdot 0 = 0
Isso significa que (-1)^2 é o inverso aditivo de -1. Como o inverso aditivo de -1 é unicamente 1, temos
(-1)^2 = 1

Passo 4

Substituindo (-1)^2 = 1 na expressão do Passo 2, concluímos:
(-a)^2 = 1cdot a^2 = a^2

Resposta

forall ainZ,;a^2 = (-a)^2.

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