Provar que, em Z, as únicas soluções da equação x^2=x são 0 e 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no anel dos inteiros Z, a única maneira de satisfazer
x^2 = x
é com x=0 ou x=1.
O conteúdo aqui envolve álgebra elementar em anéis, em particular a propriedade de que Z não tem divisores de zero, ou seja, se um produto é zero, então um dos fatores deve ser zero.

Passo 2

Começamos levando todos os termos para um lado da igualdade, obtendo uma equação equivalente mais fácil de fatorar. A partir de
x^2 = x
subtraímos x dos dois lados e ficamos com
x^2 - x = 0

Passo 3

Agora fatoramos o lado esquerdo, reconhecendo um fator comum x:
x^2 - x = x,(x - 1)
Portanto a equação fica
x,(x - 1) = 0

Passo 4

Em Z, que é um domínio de integridade (não há divisores de zero), a única maneira de um produto ser zero é que pelo menos um dos fatores seja zero. Assim, ou
x = 0
ou
x - 1 = 0

Passo 5

Da segunda possibilidade ,x-1=0 segue que x=1. Logo, as únicas soluções em Z são
x=0 ou x=1

Resposta

As únicas soluções de x^2=x em Z são x=0 e x=1.

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