Provar que, em
, as únicas soluções da equação
são
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no anel dos inteiros
, a única maneira de satisfazer
é com
ou
.
O conteúdo aqui envolve álgebra elementar em anéis, em particular a propriedade de que não tem divisores de zero, ou seja, se um produto é zero, então um dos fatores deve ser zero.
O conteúdo aqui envolve álgebra elementar em anéis, em particular a propriedade de que
Passo 2
Começamos levando todos os termos para um lado da igualdade, obtendo uma equação equivalente mais fácil de fatorar. A partir de
subtraímos
dos dois lados e ficamos com
Passo 3
Agora fatoramos o lado esquerdo, reconhecendo um fator comum
:
Portanto a equação fica
Passo 4
Em
, que é um domínio de integridade (não há divisores de zero), a única maneira de um produto ser zero é que pelo menos um dos fatores seja zero. Assim, ou
ou
Passo 5
Da segunda possibilidade
segue que
. Logo, as únicas soluções em
são
Resposta
As únicas soluções de
em
são
e
.