Para cada item a seguir diga se o problema pode ser modelado por uma variável aleatória binomial, geométrica ou de Poisson. Justifique
Vinte e cinco por cento dos clientes que entram numa mercearia entre usam o caixa expresso. Considere cinco clientes selecionados aleatoriamente e seja X o número entre as cinco que usam o caixa expresso. Qual é a probabilidade de que dois clientes tenham usado o caixa expresso?

Passo 1

O enunciado diz que 25% dos clientes usam o caixa expresso e que vamos selecionar aleatoriamente 5 clientes. Definimos X como o número de clientes, entre esses 5, que usam o caixa expresso. O conteúdo é Distribuição Binomial, pois estamos contando sucessos em um número fixo de tentativas independentes.

Passo 2

Como cada cliente selecionado tem apenas dois resultados possíveis (usa ou não o caixa expresso), com probabilidade constante de sucesso p=0,25 e temos n=5 tentativas independentes, X segue uma distribuição Binomial de parâmetros n=5 e p=0,25: X\sim\mathrm{Binomial}(5,0,25).

Passo 3

A função de massa de probabilidade da Binomial é dada por
P(X=k)=binomnk,p^k,(1-p)^n-k
Para k=2, substituímos n=5 e p=0,25:
Aplicando a fórmula para k=2:
Calculando numericamente temos:
P(X=2)=binom52(0,25)^2(0,75)^3=10times0,0625times0,421875approx0,263671875

Resposta

P(X=2)=binom52(0,25)^2(0,75)^3approx0,2637

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