Sejam A e B eventos de probabilidade positiva. Diga quando cada uma das seguintes afirmações for: (i) verdadeira, (ii) falsa e (iii) possivelmente verdadeira. Justifique sua resposta.
a) Se
e
são mutuamente excludentes então
e B são independentes.
b) Se
e
são mutuamente independente então são mutuamente excludentes.
a) Se
b) Se
Passo 1
Resumo do enunciado: temos dois eventos A e B com P(A)>0 e P(B)>0. Precisamos ver se exclusão mútua (P(A∩B)=0) implica independência (P(A∩B)=P(A)P(B)), e vice-versa.
Passo 2
Definições e teoria: mutual exclusão significa
Independência significa
Passo 3
Análise do item a: se A e B são mutuamente excludentes então P(A\cap B)=0. Para serem independentes precisaríamos ter P(A\cap B)=P(A)P(B)>0 (pois P(A)>0 e P(B)>0), o que contradiz P(A\cap B)=0. Logo a afirmação é falsa em todo caso.
Passo 4
Análise do item b: se A e B são independentes então P(A\cap B)=P(A)P(B)>0. Para serem mutuamente excludentes precisaríamos de P(A\cap B)=0, o que é impossível. Portanto essa afirmação também é falsa.
Resposta
a) falsa; b) falsa