Sejam A e B eventos de probabilidade positiva. Diga quando cada uma das seguintes afirmações for: (i) verdadeira, (ii) falsa e (iii) possivelmente verdadeira. Justifique sua resposta.
a) Se A e B são mutuamente excludentes então A e B são independentes.
b) Se A e B são mutuamente independente então são mutuamente excludentes.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos dois eventos A e B com P(A)>0 e P(B)>0. Precisamos ver se exclusão mútua (P(A∩B)=0) implica independência (P(A∩B)=P(A)P(B)), e vice-versa.

Passo 2

Definições e teoria: mutual exclusão significa
P(Acap B)=0
Independência significa
P(Acap B)=P(A)P(B)

Passo 3

Análise do item a: se A e B são mutuamente excludentes então P(A\cap B)=0. Para serem independentes precisaríamos ter P(A\cap B)=P(A)P(B)>0 (pois P(A)>0 e P(B)>0), o que contradiz P(A\cap B)=0. Logo a afirmação é falsa em todo caso.

Passo 4

Análise do item b: se A e B são independentes então P(A\cap B)=P(A)P(B)>0. Para serem mutuamente excludentes precisaríamos de P(A\cap B)=0, o que é impossível. Portanto essa afirmação também é falsa.

Resposta

a) falsa; b) falsa

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