Para cada item a seguir diga se o problema pode ser modelado por uma variável aleatória binomial, geométrica ou de Poisson. Justifique
k) Ao tirar 5 cartas de um baralho embaralhado, a probabilidade de uma mão ter exatamente um par é de cerca de 0,42257. Se você quiser que a probabilidade de tirar um par dentro de n retiradas independentes seja pelo menos 0,99 , então quantas retiradas devem ser feita?

Passo 1

Temos ensaios independentes de tirar 5 cartas, cada um com probabilidade de sucesso p = 0,42257 de formar exatamente um par. Queremos saber quantas retiradas n são necessárias para que a chance de obter pelo menos um par seja >= 0,99. O assunto envolve a distribuição geométrica (tempo de espera pelo primeiro sucesso).

Passo 2

Seja T o número de retiradas até o primeiro sucesso com probabilidade p constante. Então T segue uma distribuição geométrica. A probabilidade de T ser menor ou igual a n é
P(T <= n) = 1 - (1-p)^n
e precisamos que isso seja >= 0,99.

Passo 3

Impondo a desigualdade temos
1 - (1-p)^n >= 0,99
o que dá
(1-p)^n <= 0,01
Substituindo p = 0,42257 obtemos
(0,57743)^n <= 0,01 .

Passo 4

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
lnl((0,57743)^nr) <= ln(0,01)
Como ln(0,57743)<0, a desigualdade inverte, resultando em
n >= ln(0,01)ln(0,57743) .

Passo 5

Calculando numericamente ln(0,01) approx -4,60517 e ln(0,57743) approx -0,5489, vem
n >= 8,39
Como n deve ser inteiro, concluímos n = 9.

Resposta

9

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