Encontre a função de densidade de e^-2 X e de log (X) onde X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro 1.

Passo 1

O exercício pede para encontrar as densidades das variáveis transformadas Y = e^-2X e Z = log(X), sabendo que X é exponencial de parâmetro 1, ou seja, fX(x) = e^-x para x >= 0. Vamos usar transformação de variáveis para isso.

Passo 2

A ideia geral é que, se Y = g(X) e g é monotônica, então a densidade de Y é dada por
fY(y) = fXl(g^-1(y)r) |ddyg^-1(y)|

Passo 3

Para Y = e^-2X temos uma função decrescente. O inverso é
X = g^-1(y) = -tfrac12ln(y),
valendo para 0. Então
fY(y) = fXl(-tfrac12ln(y)r) cdot gl|ddyl(-tfrac12ln yr)gr| = e^-(-tfrac12ln y) cdot 12y = y^1/2 cdot 12y = 12y^-1/2,
para 0, e zero fora desse intervalo.

Passo 4

Para Z = log(X) a transformação é crescente, com inverso
X = e^z,
onde dx/dz = e^z. Logo
fZ(z) = fX(e^z),e^z = e^-e^z,e^z = e^z - e^z,
para todo zinR, e zero caso contrário.

Resposta

As densidades são:
Para Y = e^-2X:
fY(y) = tfrac12y^-1/2, & 0á
Para Z = log(X):
fZ(z) = e^,z - e^z, & zinR,0,&caso contrário á

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