O volume Vn(R) de uma esfera de raio R em n dimensões é dado por:
Vn(R) equiv integralsumi=1^n xi^2
Mostre que
Vn(R)=pi^n / 2 R^nn2 Gamma(n2)

Passo 1

O exercício pede para mostrar que o volume da esfera em n dimensões de raio R, definido por Vn(R)=integralsum xi^2, vale pi^n/2R^nl/l(tfrac n2,Gamma(tfrac n2)r). Vamos usar coordenadas esféricas em n dimensões e a função Gama.

Passo 2

Primeiro, calculamos a integral gaussiana em R^n em coordenadas cartesianas:
I=integralR^ne^-|x|^2,dx=l(integral-infty^inftye^-x^2dxr)^n=(raizpi;)^n=pi^n/2

Passo 3

Agora, fazemos a mesma integral em coordenadas esféricas: o elemento de volume é dx=Sn-1,r^n-1dr, onde Sn-1 é a área da esfera unitária em R^n. Então:
I=integral0^inftye^-r^2,Sn-1r^n-1dr=Sn-112integral0^inftye^-tt^ n2-1dt=Sn-12,Gammal( n2r)

Passo 4

Igualando ao resultado em coordenadas cartesianas ( pi^n/2) obtemos
Sn-1=2,pi^n/2Gamma(tfrac n2)

Passo 5

O volume da bola de raio R vem da integral radial:
Vn(R)=integralr

Passo 6

Substituindo Sn-1=2pi^n/2/Gamma(tfrac n2) e simplificando chega-se a
Vn(R)=2,pi^n/2Gamma(tfrac n2)cdotR^nn=pi^n/2R^n(n/2),Gamma(tfrac n2)

Resposta

Vn(R)=pi^n/2R^ntfrac n2,Gammal(tfrac n2r).

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