O volume
de uma esfera de raio
em
dimensões é dado por:
Mostre que
Passo 1
O exercício pede para mostrar que o volume da esfera em n dimensões de raio R, definido por
, vale
. Vamos usar coordenadas esféricas em
dimensões e a função Gama.
Passo 2
Primeiro, calculamos a integral gaussiana em
em coordenadas cartesianas:
Passo 3
Agora, fazemos a mesma integral em coordenadas esféricas: o elemento de volume é
, onde
é a área da esfera unitária em
. Então:
Passo 4
Igualando ao resultado em coordenadas cartesianas (
) obtemos
Passo 5
O volume da bola de raio
vem da integral radial:
Passo 6
Substituindo
e simplificando chega-se a