Um livro de jogos de azar recomenda a seguinte “estratégia de vitória” para o jogo de roleta: aposte R 1,00 no vermelho. Se der vermelho (o que tem probabilidade de ocorrer), pegue o lucro de 1,00 no vermelho Se der vermelho (o que tem probabilidade de ocorrer), pegue o lucro de e desista. Se o vermelho não aparecer e você perder a aposta (o que tem probabilidade de de ocorrer), faça apostas adicionais de 1,00 no vermelho em cada um dos próximos dois giros da roleta e então desista. Se X representa seu lucro quando você sair da mesa, (a) determine R (b) você está convencido de que a estratégia é de fato uma “estratégia de vitória”? Explique a sua resposta. © calcule no vermelho em cada um dos próximos dois giros da ro<=ta e então desista Se X representa seu lucro quando você sair da mesa, (a) determine .

Passo 1

O enunciado propõe uma “estratégia” de apostas na roleta em até três giros: aposte R$1 no vermelho, pare se ganhar; caso perca, aposte novamente R$1 no próximo giro e pare se ganhar; se perder de novo, faça uma última aposta de R$1 e então pare. Precisamos usar probabilidade e valor esperado para achar (a) P[X>0], (b) discutir se a estratégia é de fato vencedora e © calcular E[X], onde X é o lucro total ao sair da mesa.

Passo 2

Vamos chamar p = P(cair vermelho) em cada giro (e supor giros independentes). Cada aposta R$1 gera lucro +1 se vermelho sair e -1 se não sair. Os cenários possíveis até parar são:
  1. Ganhar no 1º giro: probabilidade p, lucro X=+1.
  2. Perde no 1º (prob=1−p), ganha no 2º: prob=(1−p)p, lucro X=−1+1=0.
  3. Perde nos 2 primeiros (prob=(1−p)², ganha no 3º: prob=(1−p)²p, lucro X=−1−1+1=−1.
  4. Perde nos 3 (prob=(1−p)³), lucro X=−1−1−1=−3.

Passo 3

Para (a), P[X>0] só ocorre no caso de lucro +1, ou seja, ganhando já no primeiro giro. Portanto
P[X>0]=p

Passo 4

Para (b), apesar de ter chance de sair com lucro (p>0), o valor esperado tende a ser negativo por causa da margem da casa. Uma “estratégia vencedora” precisa garantir E[X]>0, o que não ocorre aqui, então não é de fato uma estratégia de vitória.

Passo 5

Para ©, calculamos E[X] somando cada lucro vezes sua probabilidade:
E[X]=1cdot p+0cdot(1-p)p+(-1)cdot(1-p)^2p+(-3)cdot(1-p)^3

Passo 6

Simplificando:
E[X]=p-(1-p)^2p-3(1-p)^3

Passo 7

Se quisermos um valor numérico, basta substituir p pela probabilidade real de vermelho (por exemplo p=18/38).

Resposta

(a) P[X>0]=p
(b) Não, porque E[X]<0, logo não é estratégia ganhadora no longo prazo
© E[X]=p-(1-p)2p-3(1-p)3

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