Em cada item a seguir, econtre a solução geral da EDO e, caso seja possível, determine um intervalo em que ela exista.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Estamos lidando com EDO de primeira ordem do tipo linear. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante. Isso vai nos ajudar a encontrar a solução geral da EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das EDOs lineares, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por
(considerando que
):
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
Calculando a integral de
:
Então,
Como estamos considerando
ou
separadamente, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
Aplicando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à equação:
Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária. Além disso, a solução existe para todo
diferente de zero, ou seja, no intervalo
ou
.