Em cada item a seguir, econtre a solução geral da EDO e, caso seja possível, determine um intervalo em que ela exista.
t y^prime+2 y=sen(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
t y' + 2 y = sin(t)
Estamos lidando com EDO de primeira ordem do tipo linear. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante. Isso vai nos ajudar a encontrar a solução geral da EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das EDOs lineares, que é:
y' + P(t) y = Q(t)
Para isso, dividimos toda a equação por t (considerando que t neq 0 ):
y' + 2t y = sin(t)t
Aqui, identificamos:
  • P(t) = 2t
  • Q(t) = sin(t)t

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( mu(t) ), que é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt
Calculando a integral de P(t) :
integral 2t dt = 2 ln|t|
Então,
mu(t) = e^2 ln|t| = |t|^2
Como estamos considerando t > 0 ou t < 0 separadamente, podemos simplificar para:
mu(t) = t^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante t^2 :
t^2 y' + 2 t y = t sin(t)
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto mu(t) y :
ddt(t^2 y) = t sin(t)

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t :
integral ddt(t^2 y) dt = integral t sin(t) dt
O lado esquerdo simplifica para:
t^2 y = integral t sin(t) dt

Passo 6

Vamos resolver a integral integral t sin(t) dt usando integração por partes. Lembrando que:
integral u dv = uv - integral v du
Escolhemos:
  • u = t Rightarrow du = dt
  • dv = sin(t) dt Rightarrow v = -cos(t)
Aplicando:
integral t sin(t) dt = -t cos(t) + integral cos(t) dt = -t cos(t) + sin(t) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à equação:
t^2 y = -t cos(t) + sin(t) + C
Agora, resolvemos para y :
y = -t cos(t) + sin(t) + Ct^2
Simplificando:
y(t) = -cos(t)t + sin(t)t^2 + Ct^2

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(t) = -cos(t)t + sin(t)t^2 + Ct^2
Onde C é uma constante arbitrária. Além disso, a solução existe para todo t diferente de zero, ou seja, no intervalo t > 0 ou t < 0 .

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