Seja S a parte do paraboloide z=2-x^2-y^2 que está acima do plano z=1 orientada com campo normal unitário apontando para cima e seja D o disco x^2+y^2 <= 1, z=1, com campo normal unitário apontando para baixo. Dado o campo de vetores
F(x, y, z)=[z arctan (y^2)] i+[z^3 ln (x^2+1)] j+z k,
Use uma integral de superfície para calcular o fluxo de F através de D.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o disco
D=(x,y,1)mid x^2+y^2<=1
no plano z=1 com campo normal unitário apontando para baixo, e o campo vetorial
vec F(x,y,z)=l[zarctan(y^2)r]vec i+l[z^3ln(x^2+1)r]vec j+zvec k
Queremos calcular o fluxo de vec F através de D.

Passo 2

Parametrizamos D por
vec r(x,y)=(x,y,1), x^2+y^2<=1
A normal unitária apontando para baixo (orientação dada) é
vec n=(0,0,-1).
No plano z=1, o campo vale
vec F(x,y,1)=l[arctan(y^2)r]vec i+l[ln(x^2+1)r]vec j+vec k,
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vec Fcdotvec n =(arctan(y^2),,ln(x^2+1),,1)cdot(0,0,-1) =-1

Passo 3

Como o integrando é constante, o fluxo é
integral duplaDvec Fcdotvec n,dS =integral duplax^2+y^2<=1(-1),dA =-1cdotÁrea(D) =-1cdotpi =-pi Á

Resposta

-pi

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