Determine

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
g(x)= 0, & x<3, x, & x>=3
O conteúdo envolve a definição da transformada de Laplace e o teorema do retardo (atraso) para funções que “ligam” a partir de um certo instante.

Passo 2

Pela definição da transformada de Laplace,
mathscrLg(x) =integral0^inftyg(x),e^-s x,dx
Como g(x)=0 para 0<= x<3 e g(x)=x para x>=3, ficamos com
mathscrLg(x) =integral3^inftyx,e^-s x,dx

Passo 3

Para aproveitar o atraso em x=3, fazemos a mudança de variável
u = x-3, x = u+3, quando x=3to u=0,;xtoinftyto utoinfty
Então
integral3^inftyx,e^-s x,dx =integral0^infty(u+3),e^-s(u+3),du =e^-3sintegral0^infty(u+3),e^-s u,du

Passo 4

Agora separamos a integral em duas partes:
integral0^infty(u+3),e^-s u,du =integral0^inftyu,e^-s u,du +3integral0^inftye^-s u,du
Sabemos que
integral0^inftyu,e^-s u,du=1s^2, integral0^inftye^-s u,du=1s
Logo,
integral0^infty(u+3),e^-s u,du =1s^2+3s
Multiplicando por e^-3s, obtemos
mathscrLg(x) =e^-3sl(1s^2+3sr)

Resposta

mathscrLg(x) =e^-3sl(1s^2+3sr)

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