Em cada item a seguir, econtre a solução geral da EDO e, caso seja possível, determine um intervalo em que ela exista.
y^prime+y+x+x^2+x^2=0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial de primeira ordem
y' + y + x + x^2 + x^2 = 0,
que podemos reescrever como
y' + y = -l(x + 2x^2r)
Conteúdo: equação linear de primeira ordem. Vamos usar o fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Identificamos P(x)=1 e Q(x)=-(x+2x^2). O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 1,dx = e^x
Multiplicando a EDO por mu(x), obtemos
e^xy' + e^xy = -l(x+2x^2r)e^x Longrightarrow l(e^xyr)' = -l(x+2x^2r)e^x

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^xy = -integral l(x+2x^2r)e^x,dx + C
Isto se separa em
-integral x e^x,dx ;-;2integral x^2e^x,dx

Passo 4

Calculamos cada integral por partes:
  1. integral x,e^x,dx: seja u=x, dv=e^xdx, então
integral x,e^x,dx = x,e^x - integral 1cdot e^x,dx = (x-1)e^x
  1. integral x^2,e^x,dx: seja u=x^2, dv=e^xdx, então
integral x^2e^x,dx = x^2e^x - integral 2x,e^x,dx = x^2e^x - 2l(x-1r)e^x = l(x^2 - 2x +2r)e^x

Passo 5

Substituindo no Paso 3:
e^xy = -l(x-1r)e^x ;-;2l(x^2-2x+2r)e^x + C = l(-x+1 -2x^2+4x-4r)e^x + C = l(-2x^2+3x-3r)e^x + C
Logo, isolando y:
y(x) = -2x^2 + 3x - 3 + C,e^-x

Passo 6

Teorema de existência e unicidade garante que, como P(x)=1 e Q(x)=-(x+2x^2) são contínuas em todo R, a solução existe e é única em qualquer intervalo contido em (-infty,infty).

Resposta

boxedy(x) = -2x^2 + 3x - 3 + C,e^-x, xin(-infty,infty)

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