Em cada item a seguir, econtre a solução geral da EDO e, caso seja possível, determine um intervalo em que ela exista.
y^prime+y+x+x^2+x^3=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
y' + y + x + x^2 + x^3 = 0
ou seja, é uma equação diferencial linear de 1º ordem na forma
y' + p(x),y = q(x),
com p(x)=1 e q(x)=-(x+x^2+x^3). Vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

O fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral 1,dx = e^x
Multiplicando a EDO por mu(x) obtém-se
e^xy' + e^xy = -l(x + x^2 + x^3r)e^x,
e o lado esquerdo é a derivada de y e^x, isto é,
ddxl(y,e^xr) = -l(x + x^2 + x^3r)e^x

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
y,e^x = -integral (x + x^2 + x^3),e^x,dx + C
Para calcular a integral, note que
integral x,e^x,dx = (x-1)e^x, integral x^2e^x,dx = (x^2-2x+2)e^x, integral x^3e^x,dx = (x^3-3x^2+6x-6)e^x
Somando,
integral (x + x^2 + x^3)e^xdx = (x^3-2x^2+5x-5),e^x
Logo
y,e^x = -l(x^3-2x^2+5x-5r)e^x + C

Passo 4

Isolando y e simplificando obtemos
y(x) = -l(x^3-2x^2+5x-5r) + C,e^-x = -x^3 +2x^2 -5x +5 + C,e^-x

Passo 5

Como os coeficientes da EDO são contínuos para todo xinR, a solução existe e é única em qualquer intervalo real.

Resposta

y(x) = -x^3 +2x^2 -5x +5 + C,e^-x,
com existência da solução para todo xinR.

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