Calcule a integral definida.
integral0^4 xraiz1+2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 até 4 de
xraiz1+2x
dx. O método mais direto é usar uma substituição do tipo u=1+2x para transformar a raiz em potência de u e depois integrar potências de u.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 1 + 2x, du = 2,dx;Rightarrow;dx = du2,
temos os limites x=0mapsto u=1 e x=4mapsto u=9. Além disso x=(u-1)/2. Substituindo na integral:
integral0^4xraiz1+2x,dx = integralu=1^9u-12raizucdotdu2 = 14integral1^9u-1u^1/2,du = 14integral1^9l(u^1/2-u^-1/2r),du

Passo 3

Integramos termo a termo:
integral u^1/2,du = 23u^3/2, integral u^-1/2,du = 2,u^1/2
Logo um antiderivado é
F(u) = 14l(23u^3/2-2u^1/2r) = 16u^3/2-12u^1/2

Passo 4

Agora avaliamos de u=1 até u=9. Para u=9 temos u^1/2=3 e u^3/2=27, então
F(9)=16cdot27 - 12cdot3 = 276-32 = 3
Para u=1 temos
F(1)=16cdot1 - 12cdot1 = -13
Portanto
integral0^4xraiz1+2x,dx = F(9) - F(1) = 3 - l(-tfrac13r) = tfrac103

Resposta

103

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