Escreva uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada. Calcule o volume do sólido.
y=cos x, y=2-cos x, 0 <= x <= 2 pi, em torno da reta y=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
y = cos x, y = 2 - cos x, 0 <= x <= 2pi
em torno da reta y=4.
O conteúdo é “sólidos de revolução” e vamos usar o método das roldanas (washers), onde a fórmula geral é
V = integrala^b pil(R(x)^2 - r(x)^2r),dx,
sendo R(x) o raio externo e r(x) o raio interno medidos até o eixo de rotação.

Passo 2

Determinar os raios externo e interno. A distância da reta y=4 até a curva inferior y=cos x é o raio maior
R(x) = 4 - cos x,
e até a curva superior y=2-cos x é o raio menor
r(x) = 4 - l(2 - cos xr) = 2 + cos x

Passo 3

Escrever a integral do volume usando washers:
V = integral0^2pi pil[(4-cos x)^2 - (2+cos x)^2r],dx

Passo 4

Simplificar o integrando:
(4-cos x)^2 - (2+cos x)^2 = l(16 -8cos x +cos^2 xr) - l(4+4cos x+cos^2 xr) = 12 -12cos x
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V = pi integral0^2pi l(12 -12cos xr),dx = 12pi integral0^2pi l(1 - cos xr),dx

Passo 5

Calcular a integral:
integral0^2pi l(1 - cos xr),dx = l[x - sin xr]0^2pi = 2pi - 0 = 2pi
Portanto
V = 12pi cdot 2pi = 24pi^2

Resposta

V = 24pi^2

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