Escreva uma integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada. Calcule o volume do sólido.
, em torno da reta
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
em torno da reta
.
O conteúdo é “sólidos de revolução” e vamos usar o método das roldanas (washers), onde a fórmula geral é
O conteúdo é “sólidos de revolução” e vamos usar o método das roldanas (washers), onde a fórmula geral é
sendo
o raio externo e
o raio interno medidos até o eixo de rotação.
Passo 2
Determinar os raios externo e interno. A distância da reta
até a curva inferior
é o raio maior
e até a curva superior
é o raio menor
Passo 3
Escrever a integral do volume usando washers:
Passo 4
Simplificar o integrando:
Logo
Passo 5
Calcular a integral:
Portanto