a) Se
é contínua, mostre que
b) Use a parte (a) para calcular
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Na parte (a) a gente precisa mostrar que, para toda função contínua
,
Isso envolve técnica de mudança de variável em integrais definidas. Na parte (b) vamos aplicar esse resultado para computar
e
.
Passo 2
Para provar (a), fazemos a substituição
Quando
, vem
; quando
, vem
. Logo,
Bastou notar que
. Trocando o nome da variável de volta para
, obtemos
Passo 3
Agora parte (b). Defina
Pela parte (a) com
, fica
Como sabemos que
, então
Por outro lado,
Passo 4
Igualando as duas expressões,
Logo
Resposta
(a) Foi mostrado que
.
(b)
(b)