a) Se f é contínua, mostre que
integral0^pi / 2 f(cos (x)) d x=integral0^pi / 2 f(sen(x)) d x
b) Use a parte (a) para calcular
integral0^pi / 2 cos ^2(x) d x e integral0^pi / 2 sen^2(x) d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Na parte (a) a gente precisa mostrar que, para toda função contínua f,
integral0^pi/2 fl(cos xr),dx ;=;integral0^pi/2 fl(senxr),dx
Isso envolve técnica de mudança de variável em integrais definidas. Na parte (b) vamos aplicar esse resultado para computar
integral0^pi/2cos^2x,dx e integral0^pi/2sen^2x,dx.

Passo 2

Para provar (a), fazemos a substituição
u = pi2 - x, então du = -,dx ã
Quando x=0, vem u=pi/2; quando x=pi/2, vem u=0. Logo,
integral0^pi/2 fl(cos xr),dx =integralpi/2^0 fl(cos(tfracpi2-u)r),(-du) =integral0^pi/2 fl(sin ur),du
Bastou notar que cos(pi/2-u)=sin u. Trocando o nome da variável de volta para x, obtemos
integral0^pi/2 fl(cos xr),dx =integral0^pi/2 fl(senxr),dx

Passo 3

Agora parte (b). Defina
I = integral0^pi/2 cos^2x,dx
Pela parte (a) com f(t)=t^2, fica
integral0^pi/2sen^2x,dx =integral0^pi/2cos^2x,dx =I
Como sabemos que cos^2x+sen^2x=1, então
integral0^pi/2l(cos^2x+sen^2xr),dx =integral0^pi/21,dx =pi2
Por outro lado,
integral0^pi/2l(cos^2x+sen^2xr),dx =I+I=2I

Passo 4

Igualando as duas expressões,
2I = pi2 Longrightarrow I = pi4
Logo
integral0^pi/2cos^2x,dx =pi4 e integral0^pi/2sen^2x,dx =pi4

Resposta

(a) Foi mostrado que
integral0^pi/2 f(cos x),dx = integral0^pi/2 f(senx),dx.
(b)
integral0^pi/2cos^2x,dx = pi4
integral0^pi/2sen^2x,dx = pi4

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