Em cada item a seguir, encontre as coordenadas dos vetores p e q com relacão a base beta :
p(x)=1+2 x-x^3 e q(x)=-7-10 x^2-x^3, beta=1,1-x, 1-x^2, 1-x^3

Passo 1

Queremos escrever cada polinômio p(x) e q(x) como combinação linear dos vetores da base beta=,1,;1-x,;1-x^2,;1-x^3.
Isto é, para cada polinômio r(x) buscamos escalares a,b,c,d tais que
r(x) ;=; acdot1 ;+; b,(1-x);+; c,(1-x^2);+; d,(1-x^3)
Ao expandir esse lado, obtemos
a + b - b,x + c - c,x^2 + d - d,x^3 ;=; (a+b+c+d) +(-b),x +(-c),x^2 +(-d),x^3
Basta igualar coeficientes desse polinômio ao de r(x) e resolver o sistema para (a,b,c,d).

Passo 2

Para
Da segunda equação vem . Da quarta, . Substituindo em , logo .
Logo as coordenadas de em são

Passo 3

Para
Da segunda equação vem . Da quarta, . Substituindo em , logo .
Assim as coordenadas de em são

Resposta

As coordenadas são:
[,p,]beta = (2,,-2,,0,,1), [,q,]beta = (-18,,0,,10,,1)

Exercícios relacionados