Seja T: R^2 R^2 tal que [T]=[rr-1 & -2 0 & 1]. Determine vetores u e v tais que: T(u)=u.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear TcolonR^2toR^2 cuja matriz na base canônica é
A = -1 & -2[6pt] 0 & 1
e pede vetores u e v tais que
T(u)=u, T(v)=-v
Isso significa encontrar vetores não nulos que sejam autovetores de A para os autovalores lambda=1 e lambda=-1. Vamos usar o fato de que um autovetor x associado a lambda satisfaz
(A-lambda I)x=0 ]

Passo 2

Primeiro, calculamos os autovalores resolvendo
det(A-lambda I) =det! -1-lambda & -2[4pt] 0 & 1-lambda =(-1-lambda)(1-lambda)=0
Daí vêm
lambda=1 e lambda=-1.
]

Passo 3

Para lambda=1, resolvemos
(A - I)x = -1-1 & -2[4pt] 0 & 1-1 = -2 & -2[4pt] 0 & 0 ,
de modo que a única equação não-trivial é
-2x1 - 2x2 = 0 Longrightarrow x1 + x2 = 0
Logo x1=-x2 e o autovetor geral é
x = ( -t,;t ) = t,(-1,1), tneq0
Escolhemos
u = (-1,1)
]

Passo 4

Para lambda=-1, resolvemos
(A + I)x = -1+1 & -2[4pt] 0 & 1+1 = 0 & -2[4pt] 0 & 2 ,
cuja equação não-trivial é
-2x2=0 Longrightarrow x2=0
Assim x1 é livre e o autovetor geral é
x = (s,0) = s,(1,0), sneq0
Escolhemos
v = (1,0)
]

Resposta

u = (-1,1) e v = (1,0).

Exercícios relacionados