Sejam B=(1,-1),(0,2) e C=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0) bases de R^2 e de R^3 respectivamente e [T]C^B=[rr1 & 0 1 & 1 0 & -1]. Determine T.

Passo 1

O enunciado dá a base B=(1,-1),(0,2) de R^2, a base
;C=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0) de R^3
e a matriz de TcolonR^2toR^3 relativa a essas bases,
[T]C^B = 1 & 0 [6pt]1 & 1 [3pt]0 & -1
Precisamos achar a expressão explícita de T(x,y) no “padrão” canônico de R^2 para R^3.]

Passo 2

As colunas de [T]C^B são as coordenadas de Tl(b1r) e Tl(b2r) na base C.
Seja b1=(1,-1) e b2=(0,2).
1. Para b1 temos coordenadas ,(1,1,0), então
T(1,-1)=1,(1,0,-1)+1,(0,1,2)+0,(1,2,0) = (1,1,1)
2. Para b2 temos coordenadas ,(0,1,-1), logo
T(0,2)=0,(1,0,-1)+1,(0,1,2)-1,(1,2,0) = (-1,-1,2)

Passo 3

Agora expressamos um vetor genérico (x,y)inR^2 na base B:
(x,y) = a,(1,-1) + b,(0,2)
Das componentes vem
a = x, -,a + 2b = y ;;Longrightarrow;; b = y + a2 = x + y2

Passo 4

Pela linearidade,
T(x,y) = a,T(1,-1) + b,T(0,2) = x,(1,1,1) + x+y2,(-1,-1,2)
Calculando coordenada a coordenada:
1ª coord&:;x - x+y2 = 2x - x - y2 = x - y2, 2ª coord&:;x - x+y2 = x - y2, 3ª coord&:;x + 2cdotx+y2 = x + (x+y) = 2x + y ªªª

Resposta

T(x,y) = l(tfracx-y2,;tfracx-y2,;2x+yr)

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