Em cada item a seguir, encontre as coordenadas dos vetores p e q com relacão a base beta :
p(x)=1+2 x-x^2 e q(x)=4-10 x-x^2, beta=1+x, x+x^2, 1+x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as coordenadas dos polinômios p(x)=1+2x-x^2 e q(x)=4-10x-x^2 em relação à base beta=,1+x,;x+x^2,;1+x^2.
Vamos expressar cada polinômio como combinação linear dos vetores de beta e igualar coeficientes para montar um sistema.

Passo 2

Para p(x) escrevemos
p(x)=a1(1+x)+a2(x+x^2)+a3(1+x^2)
Expandindo e agrupando termos:
constante: a1+a3, termo em x: a1+a2, termo em x^2: a2+a3.
Igualando com p(x)=1+2x-1x^2 obtemos o sistema
a1 + a3 = 1 a1 + a2 = 2 a2 + a3 = -1

Passo 3

Resolvendo
da segunda equação a2=2-a1.
Na terceira: (2-a1)+a3=-1 a3=a1-3.
Substituindo na primeira: a1+(a1-3)=1 leva a 2a1=4, isto é a1=2.
Logo
a2=2-2=0, a3=2-3=-1

Passo 4

Para q(x) fazemos o mesmo:
q(x)=b1(1+x)+b2(x+x^2)+b3(1+x^2),
de onde obtemos o sistema
b1 + b3 = 4 b1 + b2 = -10 b2 + b3 = -1

Passo 5

Da segunda equação b2=-10-b1.
Na terceira: (-10-b1)+b3=-1 b3=b1+9.
Substituindo na primeira: b1+(b1+9)=4 leva a 2b1=-5, logo b1=-52.
Então
b2=-10-l(-52r)=-152, b3=-52+9=132

Resposta

As coordenadas em relação a beta são
[p]beta = l(2,;0,;-1r), [q]beta = l(-tfrac52,;-tfrac152,;tfrac132r)

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