Em cada item a seguir, encontre as coordenadas dos vetores e com relacão a base : e
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as coordenadas dos polinômios e em relação à base .
Vamos expressar cada polinômio como combinação linear dos vetores de e igualar coeficientes para montar um sistema.
Passo 2
Para escrevemos
Expandindo e agrupando termos:
constante: , termo em : , termo em : .
Igualando com obtemos o sistema
Passo 3
Resolvendo
da segunda equação a2=2-a1.
Na terceira: (2-a1)+a3=-1 dá a3=a1-3.
Substituindo na primeira: a1+(a1-3)=1 leva a 2a1=4, isto é a1=2.
Logo
a2=2-2=0, a3=2-3=-1
Passo 4
Para q(x) fazemos o mesmo:
q(x)=b1(1+x)+b2(x+x^2)+b3(1+x^2),
de onde obtemos o sistema
b1 + b3 = 4 b1 + b2 = -10 b2 + b3 = -1
Passo 5
Da segunda equação b2=-10-b1.
Na terceira: (-10-b1)+b3=-1 dá b3=b1+9.
Substituindo na primeira: b1+(b1+9)=4 leva a 2b1=-5, logo b1=-52.
Então