No espaço vetorial consideramos os subespaços vetoriais: , e .
Determine as dimensões de cada um dos seguintes subespaços: , .
Passo 1
O enunciado pede as dimensões dos subespaços de definidos por
Para e usamos que menos o número de equações independentes. Para e contamos vetores independentes. Depois encontraremos resolvendo combinações lineares iguais e usaremos a fórmula
Passo 2
é dado por duas equações lineares independentes em , logo
é dado por uma única equação não trivial, logo
Passo 3
é span de e . Verificamos que não são múltiplos, logo são independentes e
De modo análogo, em os vetores e não são colineares, então
Passo 4
Para achar
Isso leva ao sistema
Dessa análise obtém-se , . Então
e é a reta gerada por . Assim
Passo 5
Pela fórmula de dimensão da soma de subespaços,
dim(S+T)=dim S+dim T-dim(Scap T)=2+2-1=3
Resposta
dim U=1,dim V=2,dim S=2,dim T=2,dim(S+T)=3,dim(Scap T)=1