No espaço vetorial R^3 consideramos os subespaços vetoriais:
U=(x, y, z) in R^3 mid x+y=4 x-z=0, V=(x, y, z) in R^3 mid 3 x-y-z=0,
S=[(1,-1,2),(2,1,1)] e T=[(0,1,-1),(1,2,1)].
Determine as dimensões de cada um dos seguintes subespaços: U, S, T, V, S+T, S cap T.

Passo 1

O enunciado pede as dimensões dos subespaços de R^3 definidos por
U=(x,y,z)mid x+y=0,;4x-z=0, V=(x,y,z)mid 3x-y-z=0,
S=span(1,-1,2),(2,1,1), T=span(0,1,-1),(1,2,1)
Para U e V usamos que dim= 3 menos o número de equações independentes. Para S e T contamos vetores independentes. Depois encontraremos dim(Scap T) resolvendo combinações lineares iguais e usaremos a fórmula
dim(S+T)=dim S+dim T-dim(Scap T)

Passo 2

U é dado por duas equações lineares independentes em R^3, logo
dim U=3-2=1
V é dado por uma única equação não trivial, logo
dim V=3-1=2

Passo 3

S é span de (1,-1,2) e (2,1,1). Verificamos que não são múltiplos, logo são independentes e
dim S=2
De modo análogo, em T os vetores (0,1,-1) e (1,2,1) não são colineares, então
dim T=2

Passo 4

Para achar
Isso leva ao sistema
Dessa análise obtém-se , . Então
e é a reta gerada por . Assim

Passo 5

Pela fórmula de dimensão da soma de subespaços,
dim(S+T)=dim S+dim T-dim(Scap T)=2+2-1=3

Resposta

dim U=1,dim V=2,dim S=2,dim T=2,dim(S+T)=3,dim(Scap T)=1

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