Verifique se as transformações dadas a seguir são lineares:
T2: R^2 longrightarrow R^3, T2(x, y)=(x+y, x, 0)

Passo 1

O enunciado dá a transformação
T2colon R^2toR^3, T2(x,y) = (,x+y,;x,;0,)
e pede para verificar se T2 é linear.
Para isso lembramos que T é linear se, para quaisquer u,vinR^2 e qualquer escalar alpha, vale
  1. Aditividade:
T(u+v) = T(u) + T(v),
  1. Homogeneidade:
T(alpha,u) = alpha,T(u)

Passo 2

Verificação da aditividade.
Sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
T2(u+v) = T2l(x1+x2,,y1+y2r) = l((x1+x2)+(y1+y2),;x1+x2,;0r)
e por outro lado
T2(u) + T2(v) = (x1+y1,,x1,,0) + (x2+y2,,x2,,0) = l(x1+x2 + y1+y2,,x1+x2,,0r)
Como as duas expressões coincidem, a aditividade está verificada.

Passo 3

Verificação da homogeneidade.
Seja alphainR e u=(x,y). Então
T2(alpha,u) = T2(alpha x,;alpha y) = (alpha x + alpha y,;alpha x,;0) = alpha,(x+y,;x,;0) = alpha,T2(x,y)
Portanto a homogeneidade também vale.

Resposta

Sim, T2 é linear, pois satisfaz aditividade e homogeneidade.

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