Em cada item a seguir encontre a equação geral do plano pi que atende as condições dadas.
pi é paralelo ao plano x z e dista 5 unidades do ponto A=(4,7,-3). (São dois planos no total.)

Passo 1

O enunciado pede a equação geral de um plano pi que é paralelo ao plano xz e cuja distância até o ponto A=(4,7,-3) é 5. O conteúdo que vamos usar é a forma geral de um plano e a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Para que pi seja paralelo ao plano xz, ele deve ter como normal um vetor paralelo ao eixo y. Podemos escolher
n=(0,1,0).
A equação geral de um plano com normal n é
0x + 1y + d = 0
ou, de modo mais simples,
y + d = 0

Passo 3

A distância de um ponto A=(x0,y0,z0) ao plano y + d=0 é
dist(A,pi) =l|ncdot A + dr||n| =l|(0,1,0)cdot(4,7,-3)+dr|raiz0^2+1^2+0^2 =l|7+dr|
Queremos que essa distância valha 5, logo
l|7 + dr| = 5

Passo 4

Resolvendo l|7 + dr| = 5 obtemos dois casos:
7 + d = 5 Longrightarrow d = -2,
7 + d = -5 Longrightarrow d = -12
Cada valor de d gera um plano diferente.

Passo 5

Substituindo d na equação y + d = 0, temos os dois planos procurados:
y - 2 = 0
e
y - 12 = 0

Resposta

y - 2 = 0
y - 12 = 0

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