Considere a transformação
definida por
a) Determine a imagem
no plano
da região
no plano
limitada pelas retas
e
.
b) Usando
, calcule
. (Resp.: 4)
b) Usando
Passo 1
O enunciado dá a transformação
e pede:
a) a imagem da região
no plano
limitada por
,
e
;
b) o valor de
a) a imagem
b) o valor de
usando essa transformação. Vamos usar mudança de variáveis e calcular o jacobiano.
Passo 2
Para achar
, vemos a imagem de cada lado de
:
-
Em
: é o segmento da retade até , ou seja de a . -
Em
: é a curvade até , ou seja de a . -
Em
: seja , então que varre o segmento verticalde a .
Assim
é o domínio fechado por essas três curvas, i.e.
Passo 3
Para a integral usamos a mudança
. O jacobiano é
Além disso,
logo
Passo 4
A integral sobre
D vira integral sobre
Q :
pois
1+2uu+1/2=2 .
Passo 5
Passo 6
Como a integral ficou
2 vezes a área de
Q , temos
Resposta
a)
b)
4 .