Considere a transformação T definida por
x=u+v e y=v-u^2
a) Determine a imagem D no plano x y da região Q no plano u v limitada pelas retas u=0, v=0 e u+v=2.
b) Usando T, calcule integral duplaD(x-y+14)^-1 / 2 d A. (Resp.: 4)

Passo 1

O enunciado dá a transformação
x = u + v, y = v - u^2
e pede:
a) a imagem D da região Q no plano uv limitada por u=0, v=0 e u+v=2;
b) o valor de
integral duplaDl(x - y + tfrac14r)^-1/2,dA
usando essa transformação. Vamos usar mudança de variáveis e calcular o jacobiano.

Passo 2

Para achar D, vemos a imagem de cada lado de Q:
  • Em u=0:
    x = v, y = v
    é o segmento da reta y = x de v=0 até v=2, ou seja de (0,0) a (2,2).
  • Em v=0:
    x = u, y = -u^2
    é a curva y = -x^2 de u=0 até u=2, ou seja de (0,0) a (2,-4).
  • Em u+v=2: seja v=2-u, então
    x = u + (2-u)=2, y = (2-u)-u^2 = 2 - u - u^2,
    que varre o segmento vertical x=2 de (2,2) a (2,-4).
Assim D é o domínio fechado por essas três curvas, i.e.
D = l(x,y)mid 0 <= x <= 2, -x^2 <= y <= xr

Passo 3

Para a integral usamos a mudança (u,v)mapsto(x,y). O jacobiano é
J = det xu & xv yu & yv = det 1 & 1 -2u & 1 =1 + 2u
Além disso,
x - y + tfrac14 = (u+v) - (v - u^2) + tfrac14 = u + u^2 + tfrac14 = l(u + tfrac12r)^2,
logo
l(x-y+tfrac14r)^-1/2 = 1u + tfrac12

Passo 4

A integral sobre D vira integral sobre Q:
integral duplaDl(x - y + tfrac14r)^-1/2dA =integral duplaQ1u+tfrac12,(1+2u),du,dv =integral duplaQ2,du,dv,
pois 1+2uu+1/2=2.

Passo 5

Q é o triângulo em uv com vértices (0,0), (2,0), (0,2), logo
Área(Q)=tfrac12cdot2cdot2=2 Á

Passo 6

Como a integral ficou 2 vezes a área de Q, temos
integral duplaDl(x - y + tfrac14r)^-1/2dA =2cdot2=4

Resposta

a)
D = (x,y)mid 0<= x<=2,,-x^2<= y<= x
b) 4.

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