Em cada item a seguir encontre a equação geral do plano pi que atende as condições dadas.
pi passa pela origem e é perpendicular aos planos
pi1: 2 x-y+3 z-1=0 e pi2: x+2 y+z=0

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano pi que passa pela origem e é perpendicular aos planos
pi1:2x - y + 3z - 1 = 0 e pi2:x + 2y + z = 0.
Do conteúdo de geometria analítica, sabemos que dois planos são perpendiculares quando seus vetores normais são ortogonais.

Passo 2

Identificamos os vetores normais dos planos dados:
n1 = (2,-1,3) para pi1 e n2 = (1,2,1) para pi2.
Seja n=(A,B,C) o vetor normal do plano pi. Devemos ter
ncdotn1 = 0 e ncdotn2 = 0

Passo 3

O vetor n que satisfaz essas duas condições é (até escala) o produto vetorial n1 times n2. Calculamos:
n1 times n2 = det i & j & k 2 & -1 & 3 1 & 2 & 1 = (-1cdot1 - 3cdot2),i - (2cdot1 - 3cdot1),j + (2cdot2 - (-1)cdot1),k = (-7,,1,,5)

Passo 4

Como pi passa pela origem, o termo independente é D=0. Assim, tomando o vetor normal n=(-7,1,5), a equação geral de pi é
-7x + y + 5z = 0

Resposta

-7x + y + 5z = 0

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