Em cada item a seguir, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado.
x^2 y+sen y=2 pi, (1,2 pi)

Passo 1

O problema pede a reta tangente à curva definida por
x^2y + sin y = 2pi
no ponto (1,2pi). O conteúdo principal aqui é derivação implícita, e em seguida usar ponto e declive para obter a equação da reta.

Passo 2

Vamos aplicar derivação implícita em relação a x em ambas as parcelas. Na primeira, x^2y, usamos a regra do produto, e na segunda, sin y, usamos a regra da cadeia. Derivando:
ddx(x^2y) + ddx(sin y) = 0
2x,y + x^2,y' + cos ycdot y' = 0

Passo 3

Agora agrupamos os termos que contêm y' de um lado e isolamos y':
(x^2 + cos y),y' = -2x,y
Portanto,
y' = -2x,yx^2 + cos y

Passo 4

Substituímos x=1 e y=2pi para encontrar o declive no ponto dado. Como cos(2pi)=1:
y'l|(1,2pi) = -2cdot1cdot2pi1^2 + 1 = -4pi2 = -2pi

Passo 5

Com o declive m = -2pi e o ponto (x0,y0)=(1,2pi), usamos a forma-ponto da reta:
y - y0 = m(x - x0)
Logo,
y - 2pi = -2pi(x - 1)
que em forma explícita fica:
y = -2pi x + 4pi

Resposta

y = -2pi x + 4pi

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