Calcule a seguinte integral:
integral e^x cos x d x
(e^x (sin x+cos x)2+C)

Passo 1

O problema pede para calcular a integral integral e^xcos x,dx. Esse é um caso clássico de usar integração por partes duas vezes para obter uma equação em I.

Passo 2

Definimos I = integral e^xcos x,dx e aplicamos a fórmula de integração por partes integral u,dv = u,v - integral v,du. Escolhendo
u = cos x, dv = e^x,dx, du = -sin x,dx, v = e^x,
obtemos
I = integral e^xcos x,dx = e^xcos x - integral e^x(-sin x),dx = e^xcos x + integral e^xsin x,dx

Passo 3

Chamamos
J = integral e^xsin x,dx
e repetimos a integração por partes com
u = sin x, dv = e^x,dx, du = cos x,dx, v = e^x
Isso dá
J = e^xsin x - integral e^xcos x,dx = e^xsin x - I

Passo 4

Voltando à expressão de I, temos
I = e^xcos x + J = e^xcos x + l(e^xsin x - Ir) = e^x(sin x + cos x) - I
Isolando I:
2I = e^x(sin x + cos x)Longrightarrow I = e^x(sin x + cos x)2 + C

Resposta

e^x(sin x + cos x)2 + C

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