Questão 3. Ache uma estimativa para o valor absoluto das integrais abaixo ao longo da curva indicada:
integralC 1z^2-2 i d z, onde C é a metade direita do círculo centrado na origem e que liga os pontos z=-6 i e z=6 i, orientado positivamente;

Passo 1

A gente tem a integral integralC 1z^2-2i,dz ao longo da metade direita do círculo de raio 6 centrado na origem (de z=-6i até z=6i), e o que vai rolar aqui é usar o Lema M–L para estimar o valor absoluto dessa integral.

Passo 2

No caminho C vale |z|=6, então z^2 tem módulo |z|^2=36. Usando a desigualdade reversa do triângulo,
|z^2-2i|>= |,|z^2|-|2i|,|=36-2=34,

Passo 3

logo em qualquer ponto de C
l|1z^2-2ir|=1|z^2-2i|<=134=:M

Passo 4

A gente também precisa do comprimento de C. Como é meia circunferência de raio 6,
L=picdot6=6pi

Passo 5

Aplicando o Lema M–L,
l|integralC1z^2-2i,dzr|<= M,L=134times6pi=6pi34=3pi17

Resposta

3pi17

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