Calcule os seguintes limites usando L’Hopital quando possível
lim x -1 4 x^3+x^2+3x^5+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto -14x^3+x^2+3x^5+1 usando a versão da regra de l’Hospital para formas indeterminadas. Vamos trabalhar com limites e derivadas para resolver.

Passo 2

Primeiro, verificamos a indeterminação substituindo x=-1. Calculamos o numerador e o denominador separadamente:
4(-1)^3 + (-1)^2 + 3 = -4 + 1 + 3 = 0,
(-1)^5 + 1 = -1 + 1 = 0
Como isso gera a forma 0/0, podemos aplicar a regra de l’Hospital.

Passo 3

Aplicamos a regra de l’Hospital derivando numerador e denominador:
Num' = ddx(4x^3 + x^2 + 3) = 12x^2 + 2x,
Den' = ddx(x^5 + 1) = 5x^4

Passo 4

Substituímos x=-1 no quociente das derivadas para obter o limite:
12(-1)^2 + 2(-1)5(-1)^4 = 12 - 25 cdot 1 = 105 = 2

Resposta

2

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