Determine as equações que caracterizam os seguintes subespaços, se possível.
Verifique se Wi é um subespaço próprio de Vi.
V7=P3(R), W7=[t^3, t^2, t, 1]

Passo 1

O enunciado diz que
V7=P3(R)
e
W7=span,t^3,,t^2,,t,,1.
Precisamos descrever W7 por equações lineares nos coeficientes e verificar se ele é subespaço próprio de V7.

Passo 2

Um polinômio genérico de V7 pode ser escrito como
p(t)=a3,t^3+a2,t^2+a1,t+a0,
onde a3,a2,a1,a0inR.

Passo 3

Como
W7=,alpha,t^3+beta,t^2+gamma,t+de<a mid alpha,beta,gamma,de<ainR,
todo polinômio de grau até 3 está em W7. Logo
W7=P3(R)=V7

Passo 4

Para descrevê-lo por equações lineares nos coeficientes a3,a2,a1,a0, não há nenhuma condição extra: todos os vetores (a3,a2,a1,a0) em R^4 são permitidos. A única “equação” seria
0cdot a3+0cdot a2+0cdot a1+0cdot a0=0,
que é um requisito trivial.

Passo 5

Como W7=V7, não há inclusão estrita. Portanto, W7 não é subespaço próprio de V7.

Resposta

As equações que caracterizam W7 são nenhuma (nenhuma restrição sobre (a3,a2,a1,a0)).
Como W7=V7, W7 não é subespaço próprio de V7.

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