Determine as equações que caracterizam os seguintes subespaços, se possível.
Verifique se Wi é um subespaço próprio de Vi.
V6=M2(R), W6=[(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(cc0 & 0 -1 & 0),(cc0 & 0 0 & -1)]

Passo 1

O enunciado fornece o espaço vetorial V6=M2(R) de todas as matrizes 2times2 reais e o subespaço gerado pelos vetores
A=1&00&0, B=0&10&0, C=0&0-1&0, D=0&00&-1
Precisamos achar equações lineares que descrevam W6=spanA,B,C,D dentro de V6 e verificar se W6 é um subespaço próprio de V6.

Passo 2

Tomemos a base canônica de M2(R):
E11=1&00&0, E12=0&10&0, E21=0&01&0, E22=0&00&1
Observamos que
;A=E11,;B=E12,;C=-E21 (logo E21=-C),
;D=-E22 (logo E22=-D).
Portanto W6 contém todos os quatro vetores da base canônica, de modo que
dim W6=4

Passo 3

Como dim V6=dim M2(R)=4, segue que
dim W6=dim V6,
ou seja
W6=V6
Logo não existe nenhuma restrição não-trivial sobre os coeficientes dos elementos de W6.

Resposta

As equações que caracterizam são apenas as triviais (nenhuma restrição não-nula), isto é,
Portanto e não é um subespaço próprio.

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