Em cada item a seguir, faça o que se pede:
I . Determine: a) as equações que caracterizam U+W, se possível.
b) um conjunto de geradores de U cap W.
II .Verifique se: a) U+W=V b) U+W é soma direta.
(i) V=R^4, U=(x, y, z, w) in R^4 ; x+y=w-z=0 e W=(x, y, z, w) in R^4 ; z=0=w
(ii) V=P2(R), U=xt^2+yt+z in P2(R) ; x-y=0 e W=[t^2-1, t+1]
(iii) V=M2(R), U=[(cc1 & 0 -1 & 0),(cc0 & 1 -1 & 0)] e W=[(ll0 & 1 0 & 0)]
(iv) V=R^3, U=(x, y, z) in R^3 ; x-y=z e W=[(1,-1,-1)]
(v) V=M2(R), U=[(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(cc0 & 0 -1 & 0)] e W=[(ll1 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 1)].

Passo 1

O enunciado pede, para cada par de subespaços U,Wsubset V:
I.a) uma descrição por equações lineares (se existir) de U+W.
I.b) um sistema de geradores de Ucap W.
II.a) verificar se U+W=V.
II.b) verificar se a soma é direta (isto é, se Ucap W=0).
O conteúdo é soma e interseção de subespaços e critério de soma direta.

Passo 2

Método geral:
  • Para U+W, tomamos vetores genéricos uin U e win W, escrevemos u+w com parâmetros livres e, se possível, obtemos as equações lineares que todo u+w satisfaz.
  • Para Ucap W, impomos simultaneamente as condições definidoras de U e de W e resolvemos para obter um sistema gerador.
  • Para ver se U+W=V, comparamos a dimensão dim(U+W)=dim U+dim W-dim(Ucap W) com dim V ou vemos se as equações de U+W são triviais.
  • Para soma direta, basta checar se dim(Ucap W)=0.

Passo 3

(i) V= R^4,
U=(x,y,z,w):x+y=0,;w-z=0=(x,-x,z,z),
W=(x,y,z,w):z=0,;w=0=(a,b,0,0).
U+W=(x+a,-x+b,z,z) satisfaz sempre
w-z=0
Logo
U+W=(x,y,z,w)in R^4: w-z=0
Ucap W impõe em U também z=0,w=0, restando x+y=0.
Ucap W=(x,-x,0,0)=lang<=(1,-1,0,0)rang<=
dim(U+W)=3<4, então U+Wneq V.
– Como dim(Ucap W)=1neq0, não é soma direta.

Passo 4

(ii) V=P2( R) ( dim=3),
U=x t^2+yt+z: x-y=0=lang<= t^2+t,,1rang<= ( dim=2),
W=lang<= t^2-1,;t+1rang<= ( dim=2).
– Soma: não há equação porque gera o espaço todo.
– Interseção: a(t^2-1)+b(t+1)=xt^2+yt+z com x=y a=b e z=0, logo
Ucap W=lang<= t^2+trang<=
dim(Ucap W)=1 implica dim(U+W)=2+2-1=3, ou seja U+W=V.
– Como dim(Ucap W)=1neq0, não é soma direta.

Passo 5

(iii) V=M2( R) ( dim=4),
U=lang<= A1,A2rang<= com
A1=1&0-1&0,; A2=0&1-1&0
( dim U=2),
W=lang<= Brang<= com
B=0&10&0
( dim W=1).
– Todo Min U+W tem a forma
cA1+dA2+eB =c&d+e-c-d&0,
logo caracterizado pela única equação
m22=0
– Para Ucap W igualamos
:cA1+dA2=eB Rightarrow c=d=e=0,
então
Ucap W=0
dim(U+W)=2+1-0=3<4, logo U+Wneq V.
– Como Ucap W=0, a soma é direta.

Passo 6

(iv) V= R^3,
U=(x,y,z):x-y=z=(y+z,y,z) ( dim=2),
W=lang<=(1,-1,-1)rang<= ( dim=1).
– Soma gera todo R^3, não há equação não trivial.
– Interseção: (y+z,y,z)=t(1,-1,-1) obriga t=0, logo
Ucap W=0
– Assim dim(U+W)=3, dá U+W=V.
– E como Ucap W=0, é soma direta.

Passo 7

(v) V=M2( R) ( dim=4),
U=lang<= E11,E12,-E21rang<= =lang<=1&00&0, 0&10&0, 0&0-1&0rang<=
( dim U=3),
W=lang<=1&10&0, 0&01&1rang<=
( dim W=2).
– Soma gera todo M2, não há equação não trivial.
– Interseção: igualando
;aE11+bE12+c(-E21) =alpha1&10&0 +beta0&01&1
Rightarrowbeta=0,;b=a,;c=0.
Ucap W=[a,a;0,0]=lang<=1&10&0rang<=
dim(Ucap W)=1 implica dim(U+W)=3+2-1=4, logo U+W=V.
– Mas como a interseção não é trivial, não é soma direta.

Resposta

(i)
a) U+W=(x,y,z,w):w-z=0
b) Ucap W=lang<=(1,-1,0,0)rang<=
II.a) não, II.b) não.
(ii)
a) U+W= P2( R) (sem equação).
b) Ucap W=lang<= t^2+trang<=
II.a) sim, II.b) não.
(iii)
a) U+W=Min M2:w22=0
b) Ucap W=0
II.a) não, II.b) sim.
(iv)
a) U+W= R^3 (sem equação).
b) Ucap W=0
II.a) sim, II.b) sim.
(v)
a) U+W=M2( R) (sem equação).
b) Ucap W=lang<=1&10&0rang<=
II.a) sim, II.b) não.

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