Em cada item a seguir, faça o que se pede:
I . Determine: um conjunto de geradores de . e W=[(ll0 & 1 0 & 0)]
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer determinar um conjunto de geradores para a interseção dos espaços U e W dentro do espaço V = M2(R) (matrizes 2x2 com números reais). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, geração de espaços e interseção de subespaços. Nosso objetivo é encontrar todas as matrizes que estão tanto em U quanto em W .
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os subespaços U e W .
U é gerado pelas matrizes:
A = 1 & 0 -1 & 0 , B = 0 & 1 -1 & 0
Isso significa que qualquer matriz em U pode ser escrita como uma combinação linear dessas duas matrizes:
U = xA + yB mid x, y in R
W é gerado pela matriz:
C = 0 & 1 0 & 0
Assim, qualquer matriz em W é um múltiplo escalar de C :
W = zC mid z in R
Passo 3
Queremos encontrar todas as matrizes que estão em U e também em W . Ou seja, queremos encontrar U cap W .
Isso significa que estamos procurando constantes x, y, z tais que:
xA + yB = zC
Vamos escrever isso explicitamente:
x 1 & 0 -1 & 0 + y 0 & 1 -1 & 0 = 0 & z 0 & 0
Passo 4
Vamos realizar a soma das matrizes no lado esquerdo:
x cdot 1 + y cdot 0 & x cdot 0 + y cdot 1 x cdot (-1) + y cdot (-1) & x cdot 0 + y cdot 0 = x & y -x - y & 0
Igualando com a matriz do lado direito:
x & y -x - y & 0 = 0 & z 0 & 0
Passo 5
Agora, vamos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes:
x = 0 (elemento [1,1])
y = z (elemento [1,2])
-x - y = 0 (elemento [2,1])
0 = 0 (elemento [2,2], que já está correto)
Passo 6
Substituindo x = 0 na terceira equação:
-0 - y = 0 implies -y = 0 implies y = 0
Mas sabemos que y = z , então:
z = 0
Passo 7
Então, os únicos valores que satisfazem as equações são:
x = 0, y = 0, z = 0
Isso significa que a única matriz que está em U cap W é a matriz nula:
0 & 0 0 & 0
Resposta
O conjunto de geradores de U cap W contém apenas a matriz nula. Portanto: