Em cada item a seguir, encontre a solução geral da EDO.
(g) e^{y} y^{\prime}=x+e^{y}+1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
e^{y}y' = x + e^{y} + 1.
Este é um problema de primeira ordem não linear em y(x). Vamos usar a substituição
u = e^{y},
de modo a obter uma EDO linear em u(x).

Passo 2

Com u=e^{y} temos
\frac{du}{dx} = e^{y}\frac{dy}{dx} = e^{y}y',
portanto a equação original vira
\frac{du}{dx} = x + u + 1,
ou seja
\frac{du}{dx} - u = x + 1.

Passo 3

Para resolver
\frac{du}{dx} - u = x + 1
usamos fator integrante \mu(x)=e^{-x}. Multiplicando tudo por e^{-x} obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{-x}\bigr) = (x+1)e^{-x}.
Integramos em x:
u\,e^{-x} = \int (x+1)e^{-x}\,dx = \bigl(-x e^{-x}-2e^{-x}\bigr) + C,
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u = Ce^{x} - x - 2.

Passo 4

Voltando a y, como u=e^{y}, temos
e^{y} = Ce^{x} - x - 2 \quad\Longrightarrow\quad y = \ln\bigl(Ce^{x} - x - 2\bigr).

Resposta

A solução geral é
e^{y} + x + 2 = Ce^{x} \quad\text{ou}\quad y(x) = \ln\bigl(Ce^{x} - x - 2\bigr),
onde C é constante arbitrária.

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