Em cada item a seguir, resolva o PVI.
(a) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}-y=2 x e^{2 x} \\\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
\begin{cases} y' - y = 2x e^{2x},\\\ y(0)=1, \end{cases}
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma y' + p(x)\,y = q(x). Aqui
p(x) = -1, \quad q(x) = 2x e^{2x}.
O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int -1\,dx} = e^{-x}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x)=e^{-x}, obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = 2x e^{2x}\,e^{-x} = 2x e^{x}.
O lado esquerdo é a derivada
\bigl(e^{-x}y\bigr)' = 2x e^{x}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-x}y = \int 2x e^{x}\,dx + C.
Para calcular \int 2x e^{x}\,dx, usamos partes com u=2x e dv=e^{x}dx, resultando em
\int 2x e^{x}\,dx = 2x e^{x} - 2e^{x}.
Logo
e^{-x}y = 2x e^{x} - 2e^{x} + C.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por e^{x} para isolar y:
y = e^{x}\bigl(2x e^{x} - 2e^{x} + C\bigr) = 2x e^{2x} - 2e^{2x} + C e^{x}.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=1. Em x=0:
y(0) = 2\cdot0\cdot e^{0} - 2e^{0} + C e^{0} = -2 + C = 1,
logo C = 3.

Resposta

y(x) = 2x e^{2x} - 2e^{2x} + 3e^{x}.

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