4^{\mathrm{a}} Questāo (2,0 pts): Calcule a integral de superfície
K=\iint_{\Sigma}(2 x y-z) d A_{\Sigma}
onde \Sigma denota a porção do plano z=x+4 y+5 acima da região D definída por D=\{(x, y) ; 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
K = \iint_{\Sigma}(2xy - z)\,dA_{\Sigma}
onde \Sigma é o gráfico da função
z = x + 4y + 5
acima do retângulo
D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;0 \le y \le 1\}.
O conteúdo é integral de superfície de uma função escalar em uma superfície dada como gráfico z=g(x,y).

Passo 2

Parametrizamos \Sigma por
\mathbf r(x,y) = \bigl(x,\;y,\;x+4y+5\bigr),
com (x,y)\in D. Para um gráfico z=g(x,y), o elemento de área é
dA_{\Sigma} = \sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}\;dx\,dy.
Aqui g_x = 1 e g_y = 4, logo
\sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2} = \sqrt{1 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt2.

Passo 3

No integrando substituímos z = x + 4y + 5. Assim
2xy - z = 2xy - (x + 4y + 5) = 2xy - x - 4y - 5.
Portanto
K = \iint_{D}\bigl(2xy - x - 4y - 5\bigr)\,dA_{\Sigma} = \iint_{D}\bigl(2xy - x - 4y - 5\bigr)\,(3\sqrt2)\;dx\,dy.

Passo 4

Escrevendo a integral em x e y,
K = 3\sqrt2 \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\bigl(2xy - x - 4y - 5\bigr)\,dx\,dy.
Calculamos separadamente:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2xy\,dx\,dy =2\bigl(\tfrac12\bigr)\bigl(\tfrac12\bigr)=\tfrac12, \quad \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x\,dx\,dy=\tfrac12,
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}4y\,dx\,dy =4\bigl(\tfrac12\bigr)=2, \quad \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}5\,dx\,dy=5.
Logo o interior da integral vale
\tfrac12 - \tfrac12 - 2 - 5 = -7.

Passo 5

Multiplicando pelo fator 3\sqrt2, obtemos
K = 3\sqrt2 \times (-7) = -21\sqrt2.

Resposta

-21\sqrt2

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