5^{\mathrm{a}} Questão ( 3,0 \mathrm{pts} ): Partindo das quatro equaçōes de Maxwell usuais para os campos elétrico \mathbf{E} e magnético \mathbf{B} em sua forma integral, utilizando os teoremas de Gauss e Stokes, obtenha as correspondentes equações de Maxwell na forma diferencial. Explique a notação e convençōes utilizadas e justifique cada passo de seu desenvolvimento.

Passo 1

O enunciado nos dá as quatro equações de Maxwell na forma integral para os campos elétrico \mathbf{E} e magnético \mathbf{B} em SI:
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_{0}}Q_{\mathrm{enc}},
\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = 0,
\oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = -\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S},
\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} = \mu_{0}\int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}.
Queremos usar o Teorema de Gauss (divergência) e o Teorema de Stokes (rotacional) para passar à forma diferencial. Aqui \varepsilon_{0} e \mu_{0}$ são constantes do meio, \(Q_{\mathrm{enc}} carga livre no volume limitado por S, \mathbf{J} densidade de corrente livre, e adotamos a regra da mão direita para orientação de superfícies e contornos.)

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Gauss à lei de Gauss para \mathbf{E}. Sabendo que
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \int_{V}(\nabla\cdot\mathbf{E})\,dV \quad\text{e}\quad Q_{\mathrm{enc}} = \int_{V}\rho\,dV,
temos
\int_{V}(\nabla\cdot\mathbf{E})\,dV = \frac{1}{\varepsilon_{0}}\int_{V}\rho\,dV.
Como vale para qualquer volume V, igualamos os integrandos e obtemos a forma diferencial:
\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.

Passo 3

Aplicamos novamente o Teorema de Gauss à lei de Gauss para \mathbf{B}:
\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = \int_{V}(\nabla\cdot\mathbf{B})\,dV = 0.
Como isso vale para todo volume V, concluímos
\nabla\cdot\mathbf{B} = 0.

Passo 4

Usamos o Teorema de Stokes na lei de Faraday:
\oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = \int_{S}(\nabla\times\mathbf{E})\cdot d\mathbf{S} \quad\text{e}\quad -\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S} = -\int_{S}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.
Logo
\int_{S}(\nabla\times\mathbf{E})\cdot d\mathbf{S} = -\int_{S}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.
Pela arbitrariedade de S, obtemos
\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.

Passo 5

Finalmente, aplicamos o Teorema de Stokes à lei de Ampère–Maxwell:
\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} = \int_{S}(\nabla\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{S},
\mu_{0}\int_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \int_{S}\Bigl(\mu_{0}\mathbf{J} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\Bigr)\cdot d\mathbf{S}.
Igualando integrandos:
\nabla\times\mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.

Resposta

As equações de Maxwell na forma diferencial são:
\nabla\cdot\mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}},
\nabla\cdot\mathbf{B} = 0,
\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},
\nabla\times\mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{J} + \mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.

Exercícios relacionados