Questão (
): Partindo das quatro equaçōes de Maxwell usuais para os campos elétrico
e magnético
em sua forma integral, utilizando os teoremas de Gauss e Stokes, obtenha as correspondentes equações de Maxwell na forma diferencial. Explique a notação e convençōes utilizadas e justifique cada passo de seu desenvolvimento.
Passo 1
O enunciado nos dá as quatro equações de Maxwell na forma integral para os campos elétrico
e magnético
em SI:
Queremos usar o Teorema de Gauss (divergência) e o Teorema de Stokes (rotacional) para passar à forma diferencial. Aqui
e
carga livre no volume limitado por
,
densidade de corrente livre, e adotamos a regra da mão direita para orientação de superfícies e contornos.)
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Gauss à lei de Gauss para
. Sabendo que
temos
Como vale para qualquer volume
, igualamos os integrandos e obtemos a forma diferencial:
Passo 3
Aplicamos novamente o Teorema de Gauss à lei de Gauss para
:
Como isso vale para todo volume
, concluímos
Passo 4
Usamos o Teorema de Stokes na lei de Faraday:
Logo
Pela arbitrariedade de
, obtemos
Passo 5
Finalmente, aplicamos o Teorema de Stokes à lei de Ampère–Maxwell:
Igualando integrandos:
Resposta
As equações de Maxwell na forma diferencial são: