Se
é uma solução da EDO
num intervalo aberto
e
para todo
, verifique que a função inversa
é uma solução da EDO
no intervalo aberto
.
Passo 1
O enunciado afirma que existe uma solução
da equação diferencial
num intervalo aberto
, com
para todo
. Como
não se anula,
é estritamente monótona em
e, portanto, invertível. Denotemos sua inversa por
Nosso objetivo é verificar que
satisfaz
no intervalo aberto
. Para isso, usaremos a regra da cadeia aplicada à identidade
.
Passo 2
Como
para todo
, diferenciamos ambos os lados em relação a
:
Logo,
Mas
. Substituindo
e
, obtemos
Resposta
A inversa
satisfaz
ou seja, é solução da EDO
no intervalo
.