Se y=\varphi(x) é uma solução da EDO y^{\prime}=f(x, y) num intervalo aberto J e f(x, \varphi(x)) \neq 0 para todo x \in J, verifique que a função inversa x=\varphi^{-1}(y) é uma solução da EDO x^{\prime}=\frac{1}{f(x, y)} no intervalo aberto \varphi(J).

Passo 1

O enunciado afirma que existe uma solução y=\varphi(x) da equação diferencial
y' = f(x,y)
num intervalo aberto J, com f\bigl(x,\varphi(x)\bigr)\neq0 para todo x\in J. Como \varphi'(x)=f\bigl(x,\varphi(x)\bigr) não se anula, \varphi é estritamente monótona em J e, portanto, invertível. Denotemos sua inversa por
x=\psi(y)=\varphi^{-1}(y),\quad y\in\varphi(J).
Nosso objetivo é verificar que \psi(y) satisfaz
x'=\frac{1}{f(x,y)}
no intervalo aberto \varphi(J). Para isso, usaremos a regra da cadeia aplicada à identidade \varphi(\psi(y))=y.

Passo 2

Como \varphi(\psi(y))=y para todo y\in\varphi(J), diferenciamos ambos os lados em relação a y:
\frac{d}{dy}\bigl[\varphi(\psi(y))\bigr] =\varphi'\bigl(\psi(y)\bigr)\,\psi'(y) =1.
Logo,
\psi'(y) =\frac{1}{\varphi'\bigl(\psi(y)\bigr)}.
Mas \varphi'(x)=f\bigl(x,\varphi(x)\bigr). Substituindo x=\psi(y) e \varphi(x)=y, obtemos
\psi'(y) =\frac{1}{f\bigl(\psi(y),\,y\bigr)}.

Resposta

A inversa \psi(y)=\varphi^{-1}(y) satisfaz
\frac{dx}{dy} =\frac{1}{f(x,y)},
ou seja, é solução da EDO x'=\tfrac1{f(x,y)} no intervalo \varphi(J).

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