Em cada item a seguir, escolha um intervalo aberto J apropriado e verifique que a função dada é uma solução da EDO em J.
y^{\prime \prime}+4 y=0, \quad \varphi(x)=A \cos (2 x)+B \operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
y'' + 4y = 0
admite como solução
\varphi(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x),
onde A e B são constantes. Vamos verificar explicitamente que \varphi satisfaz a equação para um intervalo aberto J em que \cos(2x) e \sin(2x) são bem definidas e diferenciáveis.

Passo 2

As funções \cos(2x) e \sin(2x) são infinitamente diferenciáveis em todo \mathbb{R}. Portanto, podemos escolher
J = \mathbb{R} = (-\infty,\infty)
como intervalo aberto apropriado.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de \varphi.
Em primeiro lugar,
\varphi'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(A\cos(2x) + B\sin(2x)\bigr) = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x).
Em seguida, derivando de novo,
\varphi''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-2A\sin(2x) + 2B\cos(2x)\bigr) = -4A\cos(2x) - 4B\sin(2x).
Repare que
\varphi''(x) = -4\bigl(A\cos(2x) + B\sin(2x)\bigr) = -4\,\varphi(x).

Passo 4

Substituindo na equação diferencial,
\varphi''(x) + 4\,\varphi(x) = \bigl(-4\,\varphi(x)\bigr) + 4\,\varphi(x) = 0.
Logo, \varphi(x) satisfaz
y'' + 4y = 0
para todo x\in J.

Resposta

O intervalo aberto adequado é
J = \mathbb{R} = (-\infty,\infty),
e de fato \varphi(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x)
é solução de y''+4y=0 em J.

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