Resolva as EDOs a seguir.
y^{\prime \prime}=\cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'' = \cos(2x).
Aqui o que importa é que estamos diante de uma equação de segunda ordem em que a derivada segunda de y é dada diretamente em função de x. Para resolver, basta integrar duas vezes: primeiro encontramos y' e depois y.

Passo 2

Integramos uma vez em relação a x para obter y'.
y' = \int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração.

Passo 3

Agora integramos y' para achar y.
y = \int \Bigl(\tfrac12\sin(2x) + C_{1}\Bigr)\,dx = \int \tfrac12\sin(2x)\,dx + \int C_{1}\,dx = -\tfrac{1}{4}\cos(2x) + C_{1}\,x + C_{2},
sendo C_{2} a segunda constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = -\frac{1}{4}\cos(2x) + C_{1}\,x + C_{2},
com C_{1} e C_{2} constantes arbitrárias.

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