Para medir a área de uma fazenda de forma triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos \mathrm{A}(2,1), \mathrm{B}(3,5) e \mathrm{C}(7,4) do plano cartesiano, com as medidas em km. A área dessa fazenda, em \mathrm{km}^{2}, é de:
R: \frac{\mathbf{1 7}}{\mathbf{2}}

Passo 1

O enunciado apresenta os vértices \mathrm{A}(2,1), \mathrm{B}(3,5) e \mathrm{C}(7,4) de um triângulo no plano cartesiano (em km) e pede a área dessa fazenda em \mathrm{km}^2. Vamos usar a fórmula de área de um triângulo por coordenadas, baseada no determinante.

Passo 2

A fórmula de área para um triângulo com vértices (x_1,y_1), (x_2,y_2) e (x_3,y_3) é
\text{Área} = \frac{1}{2}\bigl|\,x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\bigr|.Á

Passo 3

Substituindo (x_1,y_1)=(2,1), (x_2,y_2)=(3,5), (x_3,y_3)=(7,4):
S = 2(5-4) + 3(4-1) + 7(1-5) = 2\cdot1 + 3\cdot3 + 7\cdot(-4) = 2 + 9 - 28 = -17.

Passo 4

Assim,
\text{Área} = \frac{1}{2}\bigl|\,-17\bigr| = \frac{17}{2}.Á

Resposta

\frac{17}{2}

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