Encontre uma segunda solução das EDOs homogênea abaixo, conhecendo uma solução.
Passo 1
Beleza! A gente tem um exercício que pede para encontrar uma segunda solução de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea, sabendo que já temos uma solução. A EDO dada é:
Vamos precisar usar o método de redução de ordem, que é uma técnica para encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da EDO homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma EDO linear de segunda ordem, se já temos uma solução conhecida $ y_1 $, podemos procurar uma segunda solução na forma:
Aqui, $ v(x) $ é uma função que precisamos determinar.
Passo 3
Substituímos $ y_2 = v(x) e^{x} $ na EDO original. Para isso, precisamos calcular as derivadas de $ y_2 $.
Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ y_2 $, $ y_2’ $ e $ y_2’’ $ na EDO:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Distribuindo os termos:
Observamos que alguns termos se cancelam:
- $ x v e^{x} $ e $ -x v e^{x} $
- $ 2 v e^{x} $ e $ -2 v e^{x} $
Ficando:
Simplificando mais:
Passo 6
Podemos dividir toda a equação por $ e^{x} $ (já que $ e^{x} \neq 0 $):
Agora, temos uma equação diferencial para $ v $:
Passo 7
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para $ v’ $. Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja $ u = v’ $. Então, $ u’ = v’’ $.
Substituindo na equação:
Passo 8
Agora, temos uma equação linear de primeira ordem para $ u $:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante.
Passo 9
O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Passo 10
Multiplicamos a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 11
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Então,
Lembrando que $ u = v’ $:
Passo 12
Agora, integramos $ v’ $ para encontrar $ v $:
Onde $ D $ é outra constante de integração. Podemos ignorar $ D $ porque ele será absorvido na constante geral da solução.
Passo 13
A integral $ \int e^{-x} x^{2} dx $ pode ser resolvida por partes ou reconhecendo que é uma função conhecida. O resultado é:
Onde $ K $ é uma constante de integração. Ignorando $ K $, temos:
Passo 14
Lembrando que $ y_2 = v \cdot y_1 = v \cdot e^{x} $:
Podemos ignorar o sinal negativo e a constante, pois estamos procurando uma solução linearmente independente.
Resposta
Uma segunda solução da EDO é: