Encontre uma segunda solução das EDOs homogênea abaixo, conhecendo uma solução.
x y^prime prime-(x+2) y^prime+2 y=0, y1=e^x

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício que pede para encontrar uma segunda solução de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea, sabendo que já temos uma solução. A EDO dada é:
x y'' - (x + 2) y' + 2 y = 0, y1 = e^x
Vamos precisar usar o método de redução de ordem, que é uma técnica para encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da EDO homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma EDO linear de segunda ordem, se já temos uma solução conhecida $ y_1 $, podemos procurar uma segunda solução na forma:
y1
Aqui, $ v(x) $ é uma função que precisamos determinar.

Passo 3

Substituímos $ y_2 = v(x) e^{x} $ na EDO original. Para isso, precisamos calcular as derivadas de $ y_2 $.
Primeiro, a primeira derivada:
y2 = v(x) e^x
E a segunda derivada:
y2

Passo 4

Agora, vamos substituir $ y_2 $, $ y_2’ $ e $ y_2’’ $ na EDO:
y2
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Distribuindo os termos:
x v'' e^x + 2x v' e^x + x v e^x - x v' e^x - 2 v' e^x - x v e^x - 2 v e^x + 2 v e^x = 0
Observamos que alguns termos se cancelam:
  • $ x v e^{x} $ e $ -x v e^{x} $
  • $ 2 v e^{x} $ e $ -2 v e^{x} $
Ficando:
x v e^x
Simplificando mais:
-x v e^x

Passo 6

Podemos dividir toda a equação por $ e^{x} $ (já que $ e^{x} \neq 0 $):
e^x
Agora, temos uma equação diferencial para $ v $:
e^x neq 0

Passo 7

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para $ v’ $. Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja $ u = v’ $. Então, $ u’ = v’’ $.
Substituindo na equação:
v'

Passo 8

Agora, temos uma equação linear de primeira ordem para $ u $:
u
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante.

Passo 9

O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)

Passo 10

Multiplicamos a equação pelo fator integrante:
e^x x^-2 u' + e^x x^-2 (x - 2x) u = 0
Isso simplifica para:
ddx ( e^x x^-2 u ) = 0

Passo 11

Integrando ambos os lados:
e^x x^-2 u = C
Onde $ C $ é a constante de integração.
Então,
C
Lembrando que $ u = v’ $:
u = C e^-x x^2

Passo 12

Agora, integramos $ v’ $ para encontrar $ v $:
v'
Onde $ D $ é outra constante de integração. Podemos ignorar $ D $ porque ele será absorvido na constante geral da solução.

Passo 13

A integral $ \int e^{-x} x^{2} dx $ pode ser resolvida por partes ou reconhecendo que é uma função conhecida. O resultado é:
integral e^-x x^2 dx
Onde $ K $ é uma constante de integração. Ignorando $ K $, temos:
integral e^-x x^2 dx = -e^-x (x^2 + 2x + 2) + K

Passo 14

Lembrando que $ y_2 = v \cdot y_1 = v \cdot e^{x} $:
y2 = v cdot y1 = v cdot e^x
Podemos ignorar o sinal negativo e a constante, pois estamos procurando uma solução linearmente independente.

Resposta

Uma segunda solução da EDO é:
y2 = x^2 + 2x + 2

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