Encontre a solução geral das seguintes Equações diferenciais ordinárias lineares de
ordem:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação envolve a função
e sua derivada . - O objetivo é encontrar a solução geral
, que depende de uma constante arbitrária . - Observação sobre domínio: a expressão contém o fator
no coeficiente de ; portanto valores de com (isto é, no domínio real) devem ser tratados com cuidado — a solução será válida em intervalos onde .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de primeira ordem
. Para isso dividimos ambos os lados por
(válido onde
):
Aqui identificamos
Explicação rápida do porquê: a forma
é conveniente porque existe um método sistemático (fator integrante) que transforma o lado esquerdo num diferencial exato da forma
.
Passo 3
Apresentar o método do fator integrante. O fator integrante
é definido por
Ao multiplicar a equação padrão por
obtemos
e o lado esquerdo fica exatamente
. Vou calcular
explicitamente no passo seguinte.
Passo 4
Calcular o fator integrante:
Fazendo a substituição útil
temos
. Então
Portanto
Como fator integrante basta escolher
em cada intervalo onde
e o sinal pode ser absorvido na constante de integração depois; assim adotamos
Observação didática: usar
é mais rigoroso, mas na prática para obter a solução geral podemos trabalhar com
em cada intervalo de continuidade.
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. O lado esquerdo se torna a derivada do produto:
Repare que isso coincide com o lado esquerdo original da equação dada, então a equação pode ser escrita como
Explicação: a igualdade acima segue da regra do produto:
.
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra-se imediatamente para
. No lado direito calculamos primitivas termo a termo:
Assim obtemos
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 7
Isolar
dividindo por
(novamente válido onde
):
Podemos também escrever a solução separando a parte homogênea e a particular:
Comentário prático para prova: é suficiente apresentar a forma com a constante
no numerador; se for necessário evidenciar a solução homogênea escreva como
e a particular como a fração restante.
Passo 8
Resumo final e observações:
- A solução geral encontrada é válida em cada intervalo onde
(no real, isso significa ); a constante ajusta-se conforme o intervalo escolhido. - Método usado: fator integrante, que é padrão para equações lineares de primeira ordem. Dica para a prova: ao ver uma fração do tipo
em , fique atento — isso costuma indicar que o fator integrante será .