Encontre a solução geral das seguintes Equações diferenciais ordinárias lineares de 1{ }^{\text {a }} ordem:
\left(1+x^{3}\right) y^{\prime}+3 x^{2} y=x^{2}-x+1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
\left(1+x^{3}\right) y^{\prime}+3 x^{2} y=x^{2}-x+1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação envolve a função y(x) e sua derivada y^{\prime}(x).
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x), que depende de uma constante arbitrária C.
  • Observação sobre domínio: a expressão contém o fator 1+x^{3} no coeficiente de y^{\prime}; portanto valores de x com 1+x^{3}=0 (isto é, x=-1 no domínio real) devem ser tratados com cuidado — a solução será válida em intervalos onde 1+x^{3}\neq0.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de primeira ordem y^{\prime}+P(x)\,y=Q(x). Para isso dividimos ambos os lados por 1+x^{3} (válido onde 1+x^{3}\neq0):
y^{\prime}+\frac{3x^{2}}{1+x^{3}}\,y=\frac{x^{2}-x+1}{1+x^{3}}.
Aqui identificamos
P(x)=\frac{3x^{2}}{1+x^{3}},\qquad Q(x)=\frac{x^{2}-x+1}{1+x^{3}}.
Explicação rápida do porquê: a forma y^{\prime}+P(x)y=Q(x) é conveniente porque existe um método sistemático (fator integrante) que transforma o lado esquerdo num diferencial exato da forma \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big).

Passo 3

Apresentar o método do fator integrante. O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Ao multiplicar a equação padrão por \mu(x) obtemos
\mu(x)\,y^{\prime}+\mu(x)P(x)\,y=\mu(x)Q(x),
e o lado esquerdo fica exatamente \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big). Vou calcular \mu(x) explicitamente no passo seguinte.

Passo 4

Calcular o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{3x^{2}}{1+x^{3}}\,dx\right).
Fazendo a substituição útil u=1+x^{3} temos du=3x^{2}\,dx. Então
\int \frac{3x^{2}}{1+x^{3}}\,dx=\int\frac{du}{u}=\ln|u|=\ln|1+x^{3}|.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\big(\ln|1+x^{3}|\big)=|1+x^{3}|.
Como fator integrante basta escolher \mu(x)=1+x^{3} em cada intervalo onde 1+x^{3}>0 e o sinal pode ser absorvido na constante de integração depois; assim adotamos
\mu(x)=1+x^{3}.
Observação didática: usar |1+x^{3}| é mais rigoroso, mas na prática para obter a solução geral podemos trabalhar com \mu=1+x^{3} em cada intervalo de continuidade.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(x)=1+x^{3}. O lado esquerdo se torna a derivada do produto:
(1+x^{3})y^{\prime}+3x^{2}y=\frac{d}{dx}\big((1+x^{3})y\big).
Repare que isso coincide com o lado esquerdo original da equação dada, então a equação pode ser escrita como
\frac{d}{dx}\big((1+x^{3})y\big)=x^{2}-x+1.
Explicação: a igualdade acima segue da regra do produto: \dfrac{d}{dx}\big((1+x^{3})y\big)=(1+x^{3})y'+(1+x^{3})'y=(1+x^{3})y'+3x^{2}y.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big((1+x^{3})y\big)\,dx=\int (x^{2}-x+1)\,dx.
O lado esquerdo integra-se imediatamente para (1+x^{3})y. No lado direito calculamos primitivas termo a termo:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int (-x)\,dx=-\frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx=x.
Assim obtemos
(1+x^{3})y=\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x+C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 7

Isolar y dividindo por 1+x^{3} (novamente válido onde 1+x^{3}\neq0):
y(x)=\frac{\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2}+x+C}{1+x^{3}}.
Podemos também escrever a solução separando a parte homogênea e a particular:
y(x)=\frac{C}{1+x^{3}}+\frac{\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2}+x}{1+x^{3}}.
Comentário prático para prova: é suficiente apresentar a forma com a constante C no numerador; se for necessário evidenciar a solução homogênea escreva como y_h=\dfrac{C}{1+x^{3}} e a particular como a fração restante.

Passo 8

Resumo final e observações:
  • A solução geral encontrada é válida em cada intervalo onde 1+x^{3}\neq0 (no real, isso significa x\neq-1); a constante C ajusta-se conforme o intervalo escolhido.
  • Método usado: fator integrante, que é padrão para equações lineares de primeira ordem. Dica para a prova: ao ver uma fração do tipo \dfrac{f'(x)}{f(x)} em P(x), fique atento — isso costuma indicar que o fator integrante será f(x).

Resposta

y(x)=\frac{\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2}+x+C}{1+x^{3}}

Exercícios relacionados