Diagonalize os seguintes operadores lineares e encontre a base onde a matriz diagonal aparece:
,
Passo 1
O enunciado pede diagonalizar o operador linear
T cuja matriz na base canônica é
Para isso, vamos calcular valores próprios e vetores próprios, e exibir a base de
R^2 formada por esses vetores em que a matriz de
T fica diagonal.]
Passo 2
Encontramos o polinômio característico resolvendo
det(A-lambda I)=0 :
Passo 3
Expandindo e simplificando:
Logo o polinômio característico é
cuja solução é
ou seja
Passo 4
Agora achamos vetores próprios para cada
.
Para
:
um vetor próprio é
Para
:
um vetor próprio é
Passo 5
Como
v1 e
v2 são linearmente independentes, elas formam uma base de
R^2 . Se montamos
então
Resposta
A base de autovetores que diagonaliza
T é
e a matriz de
T nessa base é