Diagonalize os seguintes operadores lineares e encontre a base onde a matriz diagonal aparece:
[T]=[ll3 & -2 2 & -2],

Passo 1

O enunciado pede diagonalizar o operador linear T cuja matriz na base canônica é
A = 3 & -2[6pt] 2 & -2
Para isso, vamos calcular valores próprios e vetores próprios, e exibir a base de R^2 formada por esses vetores em que a matriz de T fica diagonal.]

Passo 2

Encontramos o polinômio característico resolvendo det(A-lambda I)=0:
det!3-lambda & -2[3pt] 2 & -2-lambda =(3-lambda)(-2-lambda)-(-2)cdot 2 ]

Passo 3

Expandindo e simplificando:
(3-lambda)(-2-lambda)+4 =-(3-lambda)(2+lambda)+4 =lambda^2-lambda-2
Logo o polinômio característico é
lambda^2-lambda-2=0,
cuja solução é
lambda = 1pmraiz1+82 = 1pm32,
ou seja
lambda1=2, lambda2=-1

Passo 4

Agora achamos vetores próprios para cada .
Para :
um vetor próprio é
Para :
um vetor próprio é

Passo 5

Como v1 e v2 são linearmente independentes, elas formam uma base de R^2. Se montamos
P = l[v1;v2r] = 2 & 11 & 2,
então
P^-1AP = 2&00&-1

Resposta

A base de autovetores que diagonaliza T é
l,(2,1)^T,,(1,2)^Tr,
e a matriz de T nessa base é
2 & 0[3pt] 0 & -1 ]

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