Encontre os autovalores e autovetores associados às seguntes transformações lineares:
[T]=[ccc1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 -8 & -5 & -3].

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da transformação linear representada pela matriz
A = 1 & 1 & 1 [6pt] 2 & 1 & -1 [6pt] -8 & -5 & -3
O conteúdo necessário é cálculo do polinômio característico det(A - lambda I) para achar os autovalores lambda, e em seguida resolver (A - lambda I)v = 0 para cada lambda a fim de obter os autovetores v.]

Passo 2

Vamos montar o determinante de A - lambda I:
det(A - lambda I) = det! 1-lambda & 1 & 1 [4pt] 2 & 1-lambda & -1 [4pt] -8 & -5 & -3-lambda
Calculando esse determinante por expansão, obtemos o polinômio
lambda^3 + lambda^2 - 4lambda - 4 = 0
]

Passo 3

Para fatorar lambda^3 + lambda^2 - 4lambda - 4, testamos raízes inteiras e verificamos que lambda = 2 é raiz. Dividindo por lambda - 2 via regra de Ruffini, o quociente é lambda^2 + 3lambda + 2, que se fatora como
lambda^2 + 3lambda + 2 = (lambda + 1)(lambda + 2)
Logo os autovalores são
lambda1 = 2, lambda2 = -1, lambda3 = -2

Passo 4

Para
e resolvemos . O sistema é
Somando as duas linhas vemos , ou seja . Um autovetor associado é
]

Passo 5

Para lambda2 = -1, usamos
A + I = 2 & 1 & 1 [4pt] 2 & 2 & -1 [4pt] -8 & -5 & -2 ,
e resolvemos (A + I)(x,y,z)^T = 0. O sistema leva a
2x + y + z = 0, 2x + 2y - z = 0,
cuja solução geral é x = -tfrac32 z,;y = 2z. Escolhendo z = 2 para evitar frações, um autovetor é
v2 = -3 4 2
]

Passo 6

Para lambda3 = -2, consideramos
A + 2I = 3 & 1 & 1 [4pt] 2 & 3 & -1 [4pt] -8 & -5 & -1 ,
e resolvemos (A + 2I)(x,y,z)^T = 0. O sistema dá
3x + y + z = 0, 2x + 3y - z = 0,
cuja solução é y = -tfrac54 x,;z = -tfrac74 x. Tomando x = 4, obtemos o autovetor
v3 = 4 -5 -7
]

Resposta

Os autovalores e autovetores (não normalizados) de A são:
lambda1 &= 2, & v1 &= (0,,-1,,1)^T, lambda2 &= -1, & v2 &= (-3,,4,,2)^T, lambda3 &= -2, & v3 &= (4,,-5,,-7)^T

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