Encontre os autovalores e autovetores associados às seguntes transformações lineares: .
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores da transformação linear representada pela matriz
A = 1 & 1 & 1 [6pt] 2 & 1 & -1 [6pt] -8 & -5 & -3
O conteúdo necessário é cálculo do polinômio característico det(A - lambda I) para achar os autovalores lambda, e em seguida resolver (A - lambda I)v = 0 para cada lambda a fim de obter os autovetores v.]
Calculando esse determinante por expansão, obtemos o polinômio
lambda^3 + lambda^2 - 4lambda - 4 = 0
]
Passo 3
Para fatorar lambda^3 + lambda^2 - 4lambda - 4, testamos raízes inteiras e verificamos que lambda = 2 é raiz. Dividindo por lambda - 2 via regra de Ruffini, o quociente é lambda^2 + 3lambda + 2, que se fatora como
lambda^2 + 3lambda + 2 = (lambda + 1)(lambda + 2)
Logo os autovalores são
lambda1 = 2, lambda2 = -1, lambda3 = -2
Passo 4
Para
e resolvemos . O sistema é
Somando as duas linhas vemos , ou seja . Um autovetor associado é